Würfel-Wahrscheinlichkeitsrechner

So funktioniert der Rechner

Oben stellst du drei Dinge ein: wie viele Würfel, welche Art (W4, W6, W8, W10, W12 oder W20) und was du berechnen willst. Die Schreibweise NdX, im Deutschen oft auch NWX, bedeutet N Würfel mit X Seiten: 2d6 (2W6) sind zwei normale sechsseitige Würfel, 1d20 ist ein zwanzigseitiger Würfel. Es gibt vier Ziele:

Als Ergebnis bekommst du die exakte Wahrscheinlichkeit, berechnet aus allen möglichen Kombinationen, und ein Diagramm der gesamten Verteilung der Augensummen. So siehst du sofort, welche Werte häufig und welche selten sind. Wenn du es mit echten Würfen prüfen willst, tippst du auf Würfeln oder ziehst die Würfel in die Schale: Die 3D-Würfel nutzen echte Physik, jeder Wurf ist also unabhängig vom vorigen. Bei zehn oder zwanzig Würfen weichen die Ergebnisse oft deutlich vom theoretischen Wert ab; erst bei Hunderten von Würfen nähert sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an.

Grundbegriffe: Ergebnismenge, Ereignisse und Laplace-Experiment

Ein Würfelwurf ist ein Zufallsexperiment: Du weißt, was herauskommen kann, aber nicht, was herauskommt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge Ω. Bei einem sechsseitigen Würfel ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bei zwei Würfeln unterscheidet man sie am besten (ein roter und ein blauer), dann hat Ω 6 × 6 = 36 geordnete Paare, von (1,1) bis (6,6). Bei drei Würfeln sind es 6³ = 216 Ergebnisse, allgemein hat NdX genau Xᴺ.

Ein Ereignis ist jede Teilmenge von Ergebnissen, die dich interessiert: „gerade Zahl“ ist {2, 4, 6}, „Augensumme 4 mit zwei Würfeln“ ist {(1,3), (2,2), (3,1)}. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wie bei einem fairen Würfel, spricht man von einem Laplace-Experiment, und es gilt:

P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse

Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl mit einem Würfel ist also 3/6 = 1/2, die für die Augensumme 4 mit zwei Würfeln 3/36 = 1/12. Mit zwei weiteren Werkzeugen löst man fast jede Würfelaufgabe:

• Gegenereignis: P(nicht E) = 1 − P(E). Das ist der kurze Weg bei jeder Frage nach „mindestens einmal“.
• Unabhängige Ereignisse: Was ein Würfel zeigt, beeinflusst weder einen anderen Würfel noch den nächsten Wurf. Deshalb werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert (Pfadregel im Baumdiagramm). Zweimal hintereinander eine 6: 1/6 × 1/6 = 1/36.

Der häufigste Anfängerfehler ist, Kombinationen ohne Reihenfolge zu zählen. Die Augensumme 4 mit zwei Würfeln entsteht aus 1+3 oder 2+2, aber diese beiden Fälle sind nicht gleich wahrscheinlich: 1+3 kommt auf zwei Arten vor (1 auf dem roten und 3 auf dem blauen Würfel oder umgekehrt), 2+2 nur auf eine. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit 3/36 und nicht 2/21.

Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 bei n Würfen

„Mindestens eine 6“ direkt zu berechnen hieße, die Fälle mit einer, zwei, drei Sechsen usw. zu addieren. Über das Gegenereignis geht es viel schneller. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf keine 6 zu werfen, ist 5/6, bei n unabhängigen Würfen (5/6)ⁿ. Also:

P(mindestens eine 6 bei n Würfen) = 1 − (5/6)ⁿ

Ob du einen Würfel n-mal wirfst oder n Würfel auf einmal, spielt keine Rolle: Die Wahrscheinlichkeit ist dieselbe.

Die Tabelle zeigt dreierlei. Ab 4 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal über 50 %. Sechs Würfe garantieren keine 6, auch wenn „eins von sechs“ das nahelegt: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 66,51 %. Und 100 % werden nie erreicht: Für mehr als 90 % braucht man 13 Würfe, für mehr als 99 % 26.

Die Formel gilt für jeden Wert und jeden Würfel: Beim W20 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 20 in n Würfen 1 − (19/20)ⁿ, beim W4 für mindestens eine 4 entsprechend 1 − (3/4)ⁿ. Im Rechner ist das das Ziel „mindestens einmal V“.

Zwei Würfel: Wahrscheinlichkeit Tabelle der Augensummen

Mit zwei sechsseitigen Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse, die Augensumme reicht von 2 bis 12. Jede Summe hat eine andere Anzahl von Kombinationen: Die 7 entsteht auf sechs Arten (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 und 6+1), die 2 und die 12 nur auf eine. Als Formel: P(S) = (6 − |S − 7|) / 36.

Im Spiel braucht man meist die kumulierten Spalten. Eine Augensumme von mindestens 8 hat die Wahrscheinlichkeit 15/36 = 41,67 %, mindestens 10 liegt bei 6/36 = 16,67 %. Weitere nützliche Werte mit zwei Würfeln: ein Pasch (beide gleich) 6/36 = 1/6; mindestens eine 6 11/36 = 30,56 %; ein Sechserpasch 1/36 = 2,78 %.

Wegen dieser Dreiecksform drehen sich Spiele, die Rohstoffe nach der Augensumme zweier Würfel verteilen, um die 7. Bei Catan zum Beispiel bringen die Felder mit 6 und 8 öfter Erträge als die mit 2 oder 12, und bei einer 7 gibt es keine Rohstoffe, stattdessen wird der Räuber versetzt.

Drei Würfel und die Frage an Galileo

Mit drei Würfeln hat die Ergebnismenge 216 Elemente, die Augensummen reichen von 3 bis 18. Die Form ist kein Dreieck mehr, sondern eine Glocke: Die mittleren Werte 10 und 11 sind mit je 27 Kombinationen (12,5 %) am wahrscheinlichsten, 3 und 18 kommen nur auf eine Art vor (0,46 %). Die Verteilung ist symmetrisch um 10,5, die Summe 3 ist also genauso wahrscheinlich wie 18, 4 wie 17 usw.

Warum die 10 öfter fällt als die 9

Würfelspieler hatten bemerkt, dass mit drei Würfeln die 10 etwas häufiger kam als die 9, obwohl sich beide aus sechs verschiedenen Zahlenkombinationen bilden lassen: die 9 als 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 und 3+3+3, die 10 als 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 und 3+3+4. Galileo Galilei erklärte das in einer kurzen Schrift, die als Sopra le scoperte dei dadi bekannt ist. Meist heißt es, die Frage sei vom Hof des Großherzogs der Toskana gekommen, für den Galilei seit 1610 als Mathematiker arbeitete; im Text selbst steht nur, er schreibe, um dem Auftraggeber gefällig zu sein.

Entscheidend ist die Reihenfolge. Eine Kombination aus drei verschiedenen Zahlen wie 1+2+6 kann auf 6 Arten fallen, je nachdem, welcher Würfel welche Zahl zeigt; eine mit zwei gleichen wie 1+4+4 auf 3 Arten; ein Dreierpasch wie 3+3+3 nur auf eine. Zusammengezählt: Die 9 hat 6+6+3+3+6+1 = 25 Ergebnisse, die 10 hat 6+6+3+6+3+3 = 27. Der Unterschied beträgt 2 von 216 Fällen (11,57 % gegenüber 12,5 %), weniger als einen Prozentpunkt, und trotzdem war er den Spielern aus der Praxis aufgefallen.

Chevalier de Méré, Pascal und Fermat (1654)

Antoine Gombaud, bekannt als Chevalier de Méré, war ein französischer Schriftsteller mit einer Vorliebe für Glücksspiel und Mathematik. Er legte Blaise Pascal zwei Fragen vor. Die bekanntere ist das Teilungsproblem: Wie teilt man den Einsatz gerecht auf, wenn ein Spiel über mehrere Runden vor dem Ende abgebrochen wird? Pascal diskutierte es im Sommer 1654 brieflich mit Pierre de Fermat, und dieser Briefwechsel gilt als Ausgangspunkt der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die andere Frage betraf Würfel. In seinem Brief an Fermat vom 29. Juli 1654 berichtet Pascal, Méré sehe einen Widerspruch in den Zahlen:

• Auf mindestens eine 6 in 4 Würfen mit einem Würfel zu wetten, ist vorteilhaft, im Verhältnis 671 zu 625.
• Auf mindestens einen Sechserpasch in 24 Würfen mit zwei Würfeln zu wetten, ist nachteilig.

Méré rechnete mit dem Dreisatz: Ein Würfel hat 6 Seiten, und 4 Würfe genügen; zwei Würfel haben 36 Kombinationen, also müssten 24 Würfe denselben Vorteil bringen, denn 4 verhält sich zu 6 wie 24 zu 36. Der Dreisatz funktioniert hier nicht, wie die Rechnung über das Gegenereignis zeigt:

Die Zahlen aus dem Brief stimmen genau: Von den 6⁴ = 1296 Ergebnissen bei vier Würfen enthalten 5⁴ = 625 keine 6, die übrigen 671 mindestens eine. Damit die Wette auf den Sechserpasch über 50 % kommt, braucht man 25 Würfe. Der Abstand bei 24 Würfen ist klein, weniger als ein Punkt unter 50 %, reicht aber, damit die Wette auf Dauer verliert.

Die erste schriftliche Untersuchung zu Würfelwahrscheinlichkeiten ist noch älter: Gerolamo Cardanos Liber de ludo aleae, um 1563 fertiggestellt, aber erst 1663 gedruckt, fast ein Jahrhundert später.

Verteilung von NdX, Erwartungswert und Varianz

Bei N Würfeln mit X Seiten ergibt sich die Wahrscheinlichkeit jeder Augensumme, indem man zählt, wie viele der Xᴺ Kombinationen diese Summe liefern. Das allgemeine Verfahren heißt Faltung: Man beginnt mit einem Würfel (jede Seite mit Wahrscheinlichkeit 1/X) und nimmt Würfel für Würfel hinzu. Die Wahrscheinlichkeit für die Summe S mit einem Würfel mehr ist der Mittelwert, über alle Seiten c des neuen Würfels, der Wahrscheinlichkeit, mit den bisherigen Würfeln S − c erreicht zu haben. So entstehen die Tabellen oben, und so liefert der Rechner exakte Werte statt Schätzungen aus einer Simulation. Es gibt auch eine geschlossene Formel mit Binomialkoeffizienten, von Hand ist das spaltenweise Aufaddieren aber einfacher.

Jeder zusätzliche Würfel glättet die Form: Ein Würfel ergibt eine Gleichverteilung, zwei ein Dreieck, drei eine Glocke mit fast geraden Flanken, und ab vier oder fünf Würfeln ähnelt die Kurve stark der Gaußschen Glockenkurve. Das beschreibt der zentrale Grenzwertsatz: Die Summe vieler unabhängiger, gleich verteilter Zufallsgrößen nähert sich einer Normalverteilung an, egal welche Form die einzelne Verteilung hat. Bei 4W6 etwa ist 14 die wahrscheinlichste Summe (146 von 1296 Kombinationen, 11,27 %).

Erwartungswert und Varianz eines Würfels

Der Erwartungswert eines sechsseitigen Würfels ist (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Das ist keine Zahl, die fallen kann, sondern der Durchschnitt, dem sich viele Würfe annähern. Die Varianz ist der Mittelwert der Quadrate minus das Quadrat des Erwartungswerts: 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92, die Standardabweichung √(35/12) ≈ 1,71. Für einen Würfel mit X Seiten von 1 bis X ist der Erwartungswert (X+1)/2 und die Varianz (X² − 1)/12.

Bei N Würfeln werden Erwartungswert und Varianz mit N multipliziert (die Varianzen addieren sich, weil die Würfel unabhängig sind). 10W6 hat also den Erwartungswert 35 und die Standardabweichung √(10 × 35/12) ≈ 5,40. Die exakte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zwischen 30 und 40 liegt, beträgt 68,70 %, sehr nah an den 68 %, die die Normalverteilung für eine Standardabweichung um den Erwartungswert vorhersagt.

Aufgaben mit Lösungen zur Würfel-Wahrscheinlichkeit und typische Fehler

Das sind die Aufgabentypen, die im Mathematikunterricht der Mittelstufe und in der Oberstufe am häufigsten vorkommen. Die Würfel sind immer fair und sechsseitig.

1. Augensumme 7 mit zwei Würfeln

Mögliche Ergebnisse: 36. Günstige: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1), also 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 %.

2. Mindestens eine 6 beim Wurf mit zwei Würfeln

Gegenereignis: keine 6, das sind 5 × 5 = 25 Fälle. P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,56 %. Der typische Fehler ist 1/6 + 1/6 = 12/36, damit wird (6,6) doppelt gezählt.

3. Augensumme mindestens 10 mit zwei Würfeln

Summe 10: 3 Fälle; Summe 11: 2 Fälle; Summe 12: 1 Fall. Zusammen 6. P = 6/36 = 1/6.

4. Das Produkt zweier Würfel ist gerade

Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 × 3 = 9 Fälle. P(gerade) = 1 − 9/36 = 3/4 = 75 %.

5. Gerade Zahl oder Zahl größer als 4 mit einem Würfel

Gerade: {2, 4, 6}. Größer als 4: {5, 6}. Die Vereinigung ist {2, 4, 5, 6}, also 4 Fälle. P = 4/6 = 2/3. Wer 3/6 + 2/6 = 5/6 rechnet, zählt die 6 doppelt; die Schnittmenge muss abgezogen werden: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

6. Drei Würfel mit lauter verschiedenen Zahlen

Der erste Würfel darf alles zeigen (6 Möglichkeiten), der zweite etwas anderes (5), der dritte etwas anderes als beide (4): 6 × 5 × 4 = 120 von 216. P = 5/9 ≈ 55,56 %. Ein Dreierpasch: 6/216 = 1/36.

7. Genau zwei Sechsen mit vier Würfeln

Das ist eine Binomialverteilung. Möglichkeiten, die zwei Sechser-Würfel auszuwählen: (4 über 2) = 6. Jede hat die Wahrscheinlichkeit (1/6)² × (5/6)² = 25/1296. P = 6 × 25/1296 = 25/216 ≈ 11,57 %.

8. Wie oft muss man würfeln, um mit mindestens 90 % eine 6 zu bekommen?

Gesucht ist das kleinste n mit 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9, also (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Mit Logarithmen: n ≥ log 0,1 / log (5/6) ≈ 12,63. Antwort: 13 Würfe, mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,65 %.

Typische Fehler