2 Würfel online: zwei Würfel werfen

So funktionieren die zwei Würfel auf dieser Seite

Oben liegen zwei normale sechsseitige Würfel bereit, in Rollenspielen als 2W6 oder 2d6 geschrieben. Du kannst sie auf zwei Arten werfen:

• Mit der Schaltfläche Würfeln: Beide Würfel bekommen einen zufälligen Schwung, rollen durch die Schale und bleiben von selbst liegen.
• Ziehen und loslassen: Nimm die Würfel mit der Maus oder dem Finger, bewege sie und lass sie los. Die Geschwindigkeit beim Loslassen wird zur Wurfkraft, ähnlich wie beim Werfen mit der Hand.

Sobald beide Würfel stillstehen, liest die Seite die obere Fläche jedes Würfels ab und zeigt die beiden Augenzahlen und ihre Summe. Zeigen beide Würfel dieselbe Zahl, erscheint der Hinweis auf einen Pasch, auf den es zum Beispiel bei Backgammon und Monopoly ankommt.

Darunter wächst die Strichliste der Sitzung: wie oft jede Summe von 2 bis 12 gefallen ist, mit einem Balken pro Summe und einer Markierung für den Wert, den die Wahrscheinlichkeit erwarten lässt. So siehst du Wurf für Wurf, wie sich die Verteilung der theoretischen annähert.

Die 36 Kombinationen mit zwei Würfeln und die Tabelle der Augensummen

Jeder Würfel hat 6 Seiten, zwei Würfel ergeben also 6 × 6 = 36 mögliche Ergebnisse. Damit die Zählung stimmt, muss man die Würfel unterscheiden, als wäre einer rot und der andere blau: Eine 1 auf dem roten und eine 2 auf dem blauen Würfel ist ein anderes Ergebnis als eine 2 auf dem roten und eine 1 auf dem blauen, obwohl beide Male die Summe 3 herauskommt. Bei fairen Würfeln ist jedes dieser 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, nämlich 1/36.

Die Augensummen sind dagegen nicht gleich wahrscheinlich, weil sich jede aus einer anderen Zahl von Kombinationen ergibt. Hier die vollständige Tabelle:

Die letzte Spalte zeigt, wie oft eine Summe auf lange Sicht fällt: die 7 einmal in 6 Würfen, die 2 und die 12 einmal in 36. Es gibt 11 mögliche Augensummen, von 2 bis 12.

Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es 21 verschiedene Paare: 6 Pasche und 15 Paare aus zwei verschiedenen Zahlen. Diese Zählung zeigt, welche Paare es gibt, taugt aber nicht zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, denn die Paare sind nicht gleich wahrscheinlich. Jeder Pasch kommt unter den 36 Ergebnissen nur einmal vor, jedes Paar aus zwei verschiedenen Zahlen zweimal. Deshalb ist eine 1 und eine 2 (in beliebiger Reihenfolge) doppelt so wahrscheinlich wie ein Einserpasch.

Warum die 7 die häufigste Augensumme ist

Die 7 ist die einzige Summe, die man unabhängig vom ersten Würfel noch erreichen kann. Zeigt der erste eine 1, braucht der zweite eine 6; bei einer 2 eine 5; bei einer 3 eine 4, und so weiter bis zur 6, die eine 1 braucht. Es gibt also immer genau eine Seite des zweiten Würfels, die 7 ergibt. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 6/36 oder 1/6 (16,67 %).

Bei allen anderen Summen schließt der erste Würfel schon Möglichkeiten aus. Für eine 8 hilft eine 1 auf dem ersten Würfel nicht, denn der zweite müsste dann 7 zeigen. Für die 12 geht nur eine 6 auf beiden Würfeln. Je weiter eine Summe von 7 entfernt ist, desto mehr Werte des ersten Würfels fallen weg. Deshalb nimmt die Tabelle zu den Rändern hin in Einerschritten ab und bildet ein symmetrisches Dreieck: 6 und 8 sind gleich wahrscheinlich, ebenso 5 und 9, 4 und 10, 3 und 11 sowie 2 und 12.

Die 7 ist außerdem der Erwartungswert der Augensumme. Ein Würfel liefert im Mittel 3,5, zwei Würfel also 7. Die Standardabweichung liegt bei etwa 2,42 Augen, und zwei von drei Würfen landen zwischen 5 und 9 (24 der 36 Kombinationen, 66,67 %).

Häufigste Summe heißt nicht, dass die 7 fast immer fällt: In fünf von sechs Würfen kommt etwas anderes. Sie fällt nur öfter als jede andere einzelne Summe.

2 Würfel Wahrscheinlichkeit: Pasch, mindestens eine 6 und mehr

Jede Rechnung mit zwei Würfeln läuft darauf hinaus, zu zählen, wie viele der 36 Ergebnisse passen. Die häufigsten Fragen:

Über mehrere Würfe steigt die Wahrscheinlichkeit, etwas mindestens einmal zu sehen, langsamer, als man meist denkt. Man rechnet 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es nie fällt: für einen Pasch 1 − (5/6) hoch Anzahl der Würfe, für eine 12 1 − (35/36) hoch Anzahl der Würfe.

Selbst 36 Würfe garantieren keine 12: Mit 36 % Wahrscheinlichkeit fällt keine. Und bis jede Summe von 2 bis 12 mindestens einmal gefallen ist, braucht man im Schnitt etwa 61 Würfe, meist wegen der 2 und der 12.

Spiele mit zwei Würfeln

Viele Klassiker unter den Brettspielen brauchen zwei sechsseitige Würfel. Hier die Würfelregeln der bekanntesten, also genau das, was man wissen muss, um diese Seite statt echter Würfel zu benutzen.

Backgammon

In jedem Zug wirft man zwei Würfel und zieht seine Steine um die beiden Augenzahlen, mit einem Stein oder mit zwei. Ein Pasch wird viermal statt zweimal gezogen: Mit 5-5 macht man vier Züge zu je fünf Feldern. Lässt sich nur eine der beiden Zahlen ziehen, muss die höhere gezogen werden. Zu Beginn wirft jeder Spieler einen einzelnen Würfel; wer höher wirft, beginnt und zieht mit beiden gerade geworfenen Zahlen. Bei Gleichstand wird neu geworfen. Der Dopplerwürfel, der zum Brett gehört, ist kein Spielwürfel: Er trägt 2, 4, 8, 16, 32 und 64, wird nie geworfen und zeigt nur den Einsatz an.

Monopoly

Man zieht so viele Felder vor, wie die beiden Würfel zusammen zeigen. Wer einen Pasch wirft, zieht und würfelt noch einmal. Wer im selben Zug dreimal hintereinander einen Pasch wirft, muss sofort ins Gefängnis und macht den dritten Zug nicht mehr. Die Wahrscheinlichkeit für drei Pasche in Folge liegt bei 1 zu 216, also 0,46 %.

Catan

Zu Beginn jedes Zuges werden zwei Würfel geworfen und addiert. Alle Landschaftsfelder mit dieser Zahl bringen Rohstoffe für die angrenzenden Siedlungen und Städte (eine Karte pro Siedlung, zwei pro Stadt). Bei einer 7 gibt es keine Erträge: Wer mehr als 7 Karten auf der Hand hat, muss die Hälfte abgeben, abgerundet, und der Spieler am Zug versetzt den Räuber. Darum sind die Felder mit 6 und 8 am ertragreichsten: Zusammen fallen sie 10-mal in 36 Würfen, also in fast 28 %, die 2 und die 12 zusammen nur 2-mal in 36.

Craps

Das klassische Würfelspiel der amerikanischen Casinos. Beim ersten Wurf einer Runde, dem Come-out, gewinnt eine 7 oder 11 für alle, die auf die Pass Line gesetzt haben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 8/36 (22,22 %). Eine 2, 3 oder 12 verliert (4/36, 11,11 %). Jede andere Summe, also 4, 5, 6, 8, 9 oder 10, wird zum Point, und der Werfer muss sie noch einmal würfeln, bevor eine 7 fällt. In zwei von drei Come-out-Würfen entsteht so ein Point.

Gänsespiel

Das Gänsespiel wird meist mit zwei Würfeln gespielt, oft aber auch nur mit einem. In Italien, wo es als gioco dell'oca sehr verbreitet ist, gehört eine Regel für den ersten Wurf dazu: Mit 6 und 3 geht es direkt auf Feld 26, mit 5 und 4 auf Feld 53. In deutschen Ausgaben sind die Felder 26 und 53 dagegen oft durch eine Sonderregel miteinander verbunden. Die Regeln unterscheiden sich von Land zu Land und von Ausgabe zu Ausgabe stark, im Zweifel gilt die Anleitung des eigenen Spiels.

Mensch ärgere dich nicht

Mensch ärgere dich nicht und die meisten Laufspiele für Kinder kommen mit einem einzigen Würfel aus, dafür reicht also ein einfacher Online-Würfel. Mit zwei Würfeln gespielt wird dagegen eine spanische Verwandte, Parchís, in einer Variante, die vor allem online verbreitet ist.

Galilei, der Chevalier de Méré und die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zwei der bekanntesten Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung stammen vom Würfeltisch, und beide lassen sich mit derselben Art von Abzählen lösen wie die Tabelle oben.

Galilei und die drei Würfel

Anfang des 17. Jahrhunderts schrieb Galileo Galilei einen kurzen Text, bekannt als Sopra le scoperte dei dadi, um eine Frage von Spielern zu klären. Mit drei Würfeln lassen sich die 9 und die 10 aus je sechs Kombinationen bilden (für die 9: 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4 und 3-3-3), und trotzdem fiel die 10 erfahrungsgemäß etwas öfter. Galilei löste das Rätsel, indem er die Würfe mit Reihenfolge zählte: Von den 216 möglichen Ergebnissen mit drei Würfeln ergeben 27 die Summe 10 und nur 25 die Summe 9. Die Kombinationen ohne Reihenfolge haben nicht dasselbe Gewicht: 3-3-3 kann nur auf eine Art fallen, 1-2-6 auf sechs. Überliefert ist, dass die Frage vom Hof des Großherzogs der Toskana kam, für den Galilei arbeitete, wobei der Text selbst nicht nennt, wer sie gestellt hat.

Aus genau diesem Grund ist mit zwei Würfeln eine 1 und eine 2 doppelt so wahrscheinlich wie ein Einserpasch.

Der Chevalier de Méré, Pascal und Fermat (1654)

Antoine Gombaud, bekannt als Chevalier de Méré, verglich zwei Wetten. Die erste, mit einem Würfel in vier Würfen mindestens eine 6 zu werfen, ist günstig: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77 %. Nach der Proportionsregel, die Spieler damals verwendeten, hätte auch die zweite günstig sein müssen: Ein Sechserpasch ist sechsmal seltener als eine 6, also sollten sechsmal so viele Würfe, 24, genügen. Die richtige Rechnung sagt etwas anderes: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Sechserpasch in 24 Würfen mit zwei Würfeln beträgt 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14 %, knapp unter der Hälfte. Erst mit 25 Würfen kommt man über 50 % (50,55 %).

Blaise Pascal berichtet von de Mérés Beschwerde in einem Brief an Pierre de Fermat vom 29. Juli 1654. Der Briefwechsel der beiden aus diesem Jahr, in dem es auch um das sogenannte Teilungsproblem ging (wie man den Einsatz aufteilt, wenn ein Spiel abgebrochen wird), gilt als Ausgangspunkt der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Das Gesetz der großen Zahlen: Warum dein Diagramm anders aussieht als die Theorie

Die Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle beschreiben, was auf lange Sicht passiert, nicht in einer kurzen Sitzung. Bei 36 Würfen wären sechs Siebenen, eine 2 und eine 12 zu erwarten, aber drei Siebenen oder zehn und gar keine 12 sind völlig normal. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit jeder Summe mit wachsender Zahl von Würfen ihrer Wahrscheinlichkeit nähert. Über den nächsten Wurf sagt es nichts.

Diese Tabelle zeigt für die Summe 7, in welchem Bereich die Anzahl in 95 von 100 Durchgängen liegt (berechnet mit der Binomialverteilung):

Nach 36 Würfen ist alles zwischen 2 und 11 Siebenen normal. Nach 1000 Würfen liegt der Anteil zwischen 14,4 % und 19 %, nahe an den theoretischen 16,67 %. Zwei Punkte helfen beim Lesen des Diagramms:

• Der Bereich wird nur langsam schmaler. Um ihn zu halbieren, braucht man viermal so viele Würfe. Deshalb wirken ein paar Dutzend Würfe fast zufällig, nach einigen Hundert ist das Dreieck zu erkennen und nach mehreren Tausend liegen die Balken sehr nah an den Markierungen.
• Würfel haben kein Gedächtnis. Ist die 7 eine Weile nicht gefallen, hat sie beim nächsten Wurf trotzdem die gewohnte Wahrscheinlichkeit von 1/6. Das Diagramm nähert sich der Theorie, weil frühe Serien unter vielen Würfen immer weniger ins Gewicht fallen. Die Würfel gleichen nichts aus, und wer das glaubt, unterliegt dem Spielerfehlschluss.

Praktische Tipps

• Würfel vom Brettspiel verloren? Diese Seite ersetzt sie: Augensumme und Pasch-Hinweis reichen für Monopoly, Catan, Backgammon oder eine Runde Craps zu Hause.
• Bei Backgammon zählen beide Zahlen einzeln, nicht nur die Summe. Schau dir vor dem Ziehen beide Werte an.
• Bei Catan lohnt es sich, Siedlungen auf verschiedene Zahlen zu verteilen. 6 und 8 zusammen (10 von 36 Fällen) bringen mehr als 2, 3, 11 und 12 zusammen (6 Fälle), und eine 7 stoppt alle Erträge, ein großer Kartenvorrat ist also riskant.
• Für den Mathematikunterricht: Jeder Schüler würfelt 36-mal und führt eine Strichliste, danach werden die Ergebnisse der ganzen Klasse zusammengelegt. Die einzelnen Listen weichen stark voneinander ab, die Summe der Klasse sieht dem Dreieck viel ähnlicher. So wird das Gesetz der großen Zahlen in einer Stunde sichtbar.
• Ob echte Würfel gezinkt sind, lässt sich erst nach Hunderten von Würfen sagen. Ein paar Dutzend reichen dafür nicht, wie die Tabelle oben zeigt.
• Beim Auslosen unter mehreren Personen Vorsicht mit Augensummen, denn sie sind nicht gleich wahrscheinlich. Wählt jeder eine Zahl auf einem einzelnen Würfel, haben alle dieselbe Chance; wählt man Summen aus zwei Würfeln, hat einen Vorteil, wer die 7 nimmt.