Calculateur de probabilité aux dés

Comment utiliser le calculateur

En haut, vous réglez trois choses : le nombre de dés, leur type (d4, d6, d8, d10, d12 ou d20) et ce que vous voulez calculer. La notation NdX signifie N dés à X faces : 2d6, ce sont deux dés classiques à six faces, et 1d20 un seul dé à vingt faces. Quatre objectifs sont possibles :

Vous obtenez la probabilité exacte, calculée sur toutes les combinaisons possibles, et un graphique de la loi complète de la somme, pour voir d'un coup d'œil quelles valeurs sont fréquentes et lesquelles sont rares. Pour le constater par des lancers, appuyez sur Lancer ou faites glisser les dés et lâchez-les dans le plateau : les dés 3D utilisent une vraie physique, chaque lancer est donc indépendant du précédent. Sur dix ou vingt lancers, les résultats peuvent s'éloigner nettement du pourcentage théorique ; ce n'est qu'avec des centaines de lancers que la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

Les bases : univers, événements et équiprobabilité

Lancer un dé est une expérience aléatoire : on sait ce qui peut sortir, pas ce qui va sortir. L'ensemble des issues possibles s'appelle l'univers, noté Ω. Pour un dé à six faces, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Avec deux dés, il vaut mieux les distinguer (imaginez un rouge et un bleu) : l'univers compte alors 6 × 6 = 36 couples ordonnés, de (1,1) à (6,6), ce qu'on représente souvent dans un tableau à double entrée. Avec trois dés, il y a 6³ = 216 issues, et en général NdX en a Xᴺ.

Un événement est un ensemble d'issues qui vous intéresse : « obtenir un nombre pair » correspond à {2, 4, 6} ; « la somme des deux dés vaut 4 » à {(1,3), (2,2), (3,1)}. Quand toutes les issues ont la même probabilité, comme avec un dé équilibré, on est en situation d'équiprobabilité et on applique la formule de Laplace :

P(A) = nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles

La probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé est donc 3/6 = 1/2, et celle que deux dés fassent 4 est 3/36 = 1/12. Deux outils de plus suffisent pour presque tous les problèmes de dés :

• L'événement contraire : P(non A) = 1 − P(A). C'est le raccourci pour toute question du type « au moins un ».
• Les événements indépendants : ce que montre un dé n'influence ni un autre dé ni le lancer suivant, donc les probabilités se multiplient (on suit les branches d'un arbre). Deux 6 de suite : 1/6 × 1/6 = 1/36.

L'erreur la plus fréquente au début est de compter les combinaisons sans tenir compte de l'ordre. Une somme de 4 avec deux dés peut venir de 1+3 ou de 2+2, mais ces deux cas ne sont pas équiprobables : 1+3 se produit de deux façons (1 sur le rouge et 3 sur le bleu, ou l'inverse) et 2+2 d'une seule. C'est pourquoi la probabilité vaut 3/36 et non 2/21.

Probabilité d'obtenir au moins un 6 en n lancers

Calculer directement « au moins un 6 » obligerait à additionner les cas avec un 6, deux 6, trois 6, etc. Il est bien plus rapide de passer par l'événement contraire. La probabilité de ne pas faire 6 sur un lancer est 5/6, et sur n lancers indépendants (5/6)ⁿ. Donc :

P(au moins un 6 en n lancers) = 1 − (5/6)ⁿ

Lancer un dé n fois ou n dés en même temps revient au même : la probabilité est identique.

Le tableau montre trois choses. À partir de 4 lancers, on dépasse 50 % pour la première fois. Six lancers ne garantissent pas un 6, même si « une chance sur six » semble le suggérer : la probabilité est de 66,51 %. Et on n'atteint jamais 100 % : il faut 13 lancers pour dépasser 90 % et 26 pour dépasser 99 %.

La formule vaut pour n'importe quelle valeur et n'importe quel dé : avec un d20, la probabilité d'au moins un 20 en n lancers est 1 − (19/20)ⁿ, et avec un d4 celle d'au moins un 4 est 1 − (3/4)ⁿ. Dans le calculateur, c'est l'objectif « au moins un V ».

Probabilité avec 2 dés : tableau des sommes

Avec deux dés à six faces, il y a 36 issues équiprobables et la somme va de 2 à 12. Chaque somme correspond à un nombre différent de combinaisons : le 7 sort de six façons (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 et 6+1), tandis que le 2 et le 12 n'en ont qu'une. La formule est P(S) = (6 − |S − 7|) / 36.

En jeu, ce sont surtout les colonnes cumulées qui servent. Faire 8 ou plus a une probabilité de 15/36 = 41,67 % ; 10 ou plus, de 6/36 = 16,67 %. Autres valeurs utiles avec deux dés : un double (les deux identiques), 6/36 = 1/6 ; au moins un 6, 11/36 = 30,56 % ; un double six, 1/36 = 2,78 %.

À cause de cette forme en triangle, les jeux qui distribuent des ressources selon la somme de deux dés tournent autour du 7. Dans Catan, par exemple, les tuiles marquées 6 et 8 produisent plus souvent que celles marquées 2 ou 12, et un 7 ne produit rien et déplace le voleur.

Somme de 3 dés et la question posée à Galilée

Avec trois dés, l'univers compte 216 issues et les sommes vont de 3 à 18. La forme n'est plus un triangle mais une cloche : les valeurs centrales, 10 et 11, sont les plus probables, avec 27 combinaisons chacune (12,5 %), et 3 et 18 ne sortent que d'une seule façon (0,46 %). La loi est symétrique autour de 10,5 : une somme de 3 est aussi probable qu'une somme de 18, 4 que 17, et ainsi de suite.

Pourquoi le 10 sort plus souvent que le 9

Les joueurs avaient remarqué qu'avec trois dés le 10 sortait un peu plus souvent que le 9, alors que chacun peut s'écrire de six façons différentes : 9 = 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 ou 3+3+3, et 10 = 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 ou 3+3+4. Galilée l'a expliqué dans un court texte connu sous le titre Sopra le scoperte dei dadi. On raconte souvent que la question venait de la cour du grand-duc de Toscane, pour qui Galilée travaillait comme mathématicien depuis 1610 ; le texte lui-même dit seulement qu'il écrit pour satisfaire celui qui le lui a demandé.

Tout se joue sur l'ordre. Une combinaison de trois nombres différents, comme 1+2+6, peut sortir de 6 façons selon le dé qui montre chaque nombre ; une combinaison avec une paire, comme 1+4+4, de 3 façons ; et un brelan, comme 3+3+3, d'une seule. Au total : le 9 a 6+6+3+3+6+1 = 25 issues et le 10 en a 6+6+3+6+3+3 = 27. L'écart est de 2 cas sur 216 (11,57 % contre 12,5 %), moins d'un point, et les joueurs l'avaient pourtant repéré à force de jouer.

Le chevalier de Méré, Pascal et Fermat (1654)

Antoine Gombaud, dit le chevalier de Méré, était un écrivain français amateur de jeu et de mathématiques. Il a posé deux questions à Blaise Pascal. La plus connue est le problème des partis : comment partager équitablement la mise quand une partie en plusieurs manches est interrompue avant la fin. Pascal en a discuté par lettres avec Pierre de Fermat pendant l'été 1654, et cette correspondance est considérée comme le point de départ du calcul des probabilités moderne.

L'autre question portait sur les dés. Dans sa lettre à Fermat du 29 juillet 1654, Pascal rapporte que Méré voyait une contradiction dans les nombres :

• Parier sur au moins un 6 en 4 lancers d'un dé est avantageux, dans le rapport de 671 à 625.
• Parier sur au moins un double six en 24 lancers de deux dés est désavantageux.

Méré raisonnait par proportionnalité : un dé a 6 faces et 4 lancers suffisent ; deux dés ont 36 combinaisons, donc 24 lancers devraient donner le même avantage, puisque 4 est à 6 ce que 24 est à 36. La règle de trois ne marche pas ici, comme le montre le calcul par l'événement contraire :

Les nombres de la lettre tombent juste : sur les 6⁴ = 1296 issues de quatre lancers, 5⁴ = 625 ne contiennent aucun 6 et les 671 autres en contiennent au moins un. Pour que le pari sur le double six dépasse 50 %, il faut 25 lancers. L'écart à 24 lancers est faible, moins d'un point sous 50 %, mais il suffit pour que le pari soit perdant à la longue.

La première étude écrite sur les probabilités aux dés est encore plus ancienne : le Liber de ludo aleae de Jérôme Cardan, achevé vers 1563 mais publié seulement en 1663, presque un siècle plus tard.

Loi de NdX, espérance et variance

Pour N dés à X faces, la probabilité de chaque somme s'obtient en comptant combien des Xᴺ combinaisons donnent cette somme. La méthode générale s'appelle la convolution : on part d'un dé (chaque face avec une probabilité 1/X) et on ajoute les dés un par un. La probabilité d'obtenir S avec un dé de plus est la moyenne, sur chaque face c du nouveau dé, de la probabilité d'avoir obtenu S − c avec les dés précédents. C'est ainsi que sont construits les tableaux ci-dessus, et c'est pour cela que le calculateur donne des valeurs exactes et non des estimations par simulation. Il existe aussi une formule fermée avec des coefficients binomiaux, mais à la main il est plus simple d'additionner colonne par colonne.

Chaque dé ajouté lisse la forme : un dé donne une loi uniforme, deux un triangle, trois une cloche aux flancs presque droits, et dès quatre ou cinq dés la courbe ressemble beaucoup à la courbe en cloche de Gauss. C'est ce qu'énonce le théorème central limite : la somme de nombreuses variables indépendantes de même loi tend vers une loi normale, quelle que soit la forme de chacune. Avec 4d6, par exemple, la somme la plus probable est 14 (146 combinaisons sur 1296, 11,27 %).

Espérance et variance d'un dé

L'espérance d'un dé à six faces est (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Ce n'est pas une valeur que l'on peut obtenir, mais la moyenne vers laquelle tendent de nombreux lancers. La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92, et l'écart type vaut √(35/12) ≈ 1,71. Pour un dé à X faces numérotées de 1 à X, l'espérance est (X+1)/2 et la variance (X² − 1)/12.

Avec N dés, l'espérance et la variance sont multipliées par N (les variances s'additionnent parce que les dés sont indépendants). Ainsi, 10d6 a une espérance de 35 et un écart type de √(10 × 35/12) ≈ 5,40. La probabilité exacte que la somme soit comprise entre 30 et 40 est de 68,70 %, très proche des 68 % que prévoit la loi normale pour un écart type de part et d'autre de la moyenne.

Exercices corrigés de probabilité avec des dés et erreurs fréquentes

Voici les types d'exercices que l'on retrouve le plus souvent au collège (3ᵉ) et au lycée. Les dés sont toujours équilibrés et à six faces.

1. Obtenir une somme de 7 avec deux dés

Issues possibles : 36. Favorables : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), soit 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 %.

2. Obtenir au moins un 6 en lançant deux dés

Contraire : aucun 6, ce qui arrive dans 5 × 5 = 25 cas. P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,56 %. L'erreur classique est d'additionner 1/6 + 1/6 = 12/36, ce qui compte deux fois (6,6).

3. Obtenir une somme d'au moins 10 avec deux dés

Somme 10 : 3 cas ; somme 11 : 2 cas ; somme 12 : 1 cas. Total : 6. P = 6/36 = 1/6.

4. Le produit de deux dés est pair

Le produit n'est impair que si les deux dés sont impairs : 3 × 3 = 9 cas. P(pair) = 1 − 9/36 = 3/4 = 75 %.

5. Obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur à 4 avec un dé

Pair : {2, 4, 6}. Supérieur à 4 : {5, 6}. La réunion est {2, 4, 5, 6}, soit 4 cas. P = 4/6 = 2/3. Additionner 3/6 + 2/6 = 5/6 compte le 6 deux fois ; il faut retirer l'intersection : 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

6. Trois dés qui montrent trois nombres différents

Le premier dé peut montrer n'importe quoi (6 possibilités), le deuxième autre chose (5) et le troisième un nombre différent des deux autres (4) : 6 × 5 × 4 = 120 sur 216. P = 5/9 ≈ 55,56 %. Les trois identiques : 6/216 = 1/36.

7. Exactement deux 6 avec quatre dés

C'est une loi binomiale. Nombre de façons de choisir les deux dés qui font 6 : C(4,2) = 6. Chacune a pour probabilité (1/6)² × (5/6)² = 25/1296. P = 6 × 25/1296 = 25/216 ≈ 11,57 %.

8. Combien de lancers pour avoir au moins 90 % de chances d'obtenir un 6 ?

On cherche le plus petit n tel que 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9, c'est-à-dire (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Avec les logarithmes : n ≥ ln 0,1 / ln (5/6) ≈ 12,63. Réponse : 13 lancers, avec une probabilité de 90,65 %.

Erreurs fréquentes