Lancer 2 dés en ligne

Comment utiliser les deux dés de cette page

Le plateau ci-dessus contient deux dés classiques à six faces, ce qu'on note 2d6 dans les jeux de rôle. Il y a deux façons de les lancer :

• Le bouton Lancer : les deux dés partent avec une impulsion aléatoire, roulent sur le plateau et s'arrêtent d'eux-mêmes.
• Glisser-déposer : attrapez les dés avec la souris ou le doigt, déplacez-les et relâchez-les. La vitesse au moment du lâcher devient la force du lancer, comme avec de vrais dés lancés à la main.

Quand les deux dés sont immobiles, la page lit la face supérieure de chacun, affiche les deux valeurs et leur somme. Si les deux dés montrent le même chiffre, une alerte de double apparaît, ce qui compte notamment au backgammon et au Monopoly.

En dessous se construit le relevé de la séance : combien de fois chaque somme de 2 à 12 est sortie, avec une barre par somme et un repère indiquant ce que la probabilité laisse attendre. On voit ainsi, lancer après lancer, la répartition se rapprocher de la répartition théorique.

Les 36 combinaisons de deux dés et le tableau des sommes

Chaque dé a 6 faces, donc deux dés donnent 6 × 6 = 36 résultats possibles. Pour bien compter, il faut distinguer les deux dés, comme si l'un était rouge et l'autre bleu : un 1 sur le rouge avec un 2 sur le bleu n'est pas le même résultat qu'un 2 sur le rouge avec un 1 sur le bleu, même si la somme vaut 3 dans les deux cas. Avec des dés équilibrés, chacun de ces 36 résultats a la même probabilité, 1/36.

Les sommes, elles, ne sont pas équiprobables, car chacune s'obtient avec un nombre différent de combinaisons. Voici le tableau complet :

La dernière colonne indique à quelle fréquence chaque somme sort sur le long terme : le 7 une fois sur 6, le 2 et le 12 une fois sur 36. Il y a 11 sommes possibles, de 2 à 12.

Si l'on ne tient pas compte de l'ordre, il existe 21 paires différentes : 6 doubles et 15 paires de chiffres différents. Ce décompte dit quelles paires existent, mais ne sert pas à calculer des probabilités, car ces paires n'ont pas toutes le même poids. Chaque double ne sort que d'une seule façon parmi les 36, chaque paire de chiffres différents de deux façons. C'est pourquoi un 1 et un 2 (dans n'importe quel ordre) est deux fois plus probable qu'un double 1.

Pourquoi le 7 est la somme la plus probable

Le 7 est la seule somme qu'on peut encore obtenir quel que soit le premier dé. Si le premier donne 1, il faut un 6 sur le second ; s'il donne 2, un 5 ; s'il donne 3, un 4, et ainsi de suite jusqu'au 6, qui demande un 1. Il y a toujours exactement une face du second dé qui donne 7, d'où une probabilité de 6/36, soit 1/6 (16,67 %).

Pour toutes les autres sommes, le premier dé élimine déjà des possibilités. Pour faire 8, un 1 sur le premier dé ne sert à rien, puisque le second devrait afficher 7. Pour le 12, seul un 6 sur chaque dé convient. Plus une somme s'éloigne de 7, plus de valeurs du premier dé sont exclues : le tableau baisse donc d'un cran à chaque pas vers les extrémités et dessine un triangle symétrique. Le 6 et le 8 ont la même probabilité, tout comme le 5 et le 9, le 4 et le 10, le 3 et le 11, le 2 et le 12.

Le 7 est aussi l'espérance de la somme. Un dé donne en moyenne 3,5, deux dés donnent donc 7. L'écart type est d'environ 2,42 points, et deux lancers sur trois tombent entre 5 et 9 (24 des 36 combinaisons, soit 66,67 %).

Être la somme la plus fréquente ne fait pas du 7 une quasi-certitude : cinq lancers sur six donnent autre chose. Le 7 sort simplement plus souvent que n'importe quelle autre somme prise seule.

Probabilité de faire un double, un 6 et autres résultats

Tout calcul avec deux dés revient à compter combien des 36 résultats correspondent à ce que l'on cherche. Les questions les plus fréquentes :

Sur plusieurs lancers, la probabilité de voir un résultat au moins une fois augmente moins vite qu'on ne l'imagine. On la calcule comme 1 moins la probabilité de ne jamais le voir : pour un double, 1 − (5/6) puissance le nombre de lancers ; pour un 12, 1 − (35/36) puissance le nombre de lancers.

Même 36 lancers ne garantissent pas un 12 : il reste 36 % de chances de ne pas en voir. Et pour voir sortir toutes les sommes de 2 à 12 au moins une fois, il faut en moyenne environ 61 lancers, surtout à cause du 2 et du 12.

Les jeux qui se jouent avec deux dés

Beaucoup de jeux de société classiques utilisent deux dés à six faces. Voici les règles de dés des plus connus, c'est-à-dire ce qu'il faut savoir pour utiliser cette page à la place de vrais dés.

Backgammon

À chaque tour, on lance deux dés et on avance ses pions selon les deux valeurs, avec un seul pion ou avec deux. Un double se joue quatre fois au lieu de deux : avec 5-5, on fait quatre déplacements de cinq cases. Si une seule des deux valeurs peut être jouée, il faut jouer la plus forte. Pour commencer la partie, chaque joueur lance un seul dé ; le plus fort commence et joue les deux valeurs qui viennent de sortir. En cas d'égalité, on relance. Le videau, ou cube de doublement, qui accompagne le plateau n'est pas un dé : il porte 2, 4, 8, 16, 32 et 64, ne se lance jamais et sert seulement à indiquer l'enjeu.

Monopoly

On avance du nombre de cases indiqué par la somme des deux dés. Celui qui fait un double joue puis relance. S'il fait trois doubles de suite pendant le même tour, il va directement en prison sans effectuer le troisième déplacement. La probabilité de trois doubles de suite est de 1 sur 216, soit 0,46 %.

Catan

Au début de chaque tour, on lance deux dés et on additionne. Tous les terrains portant ce nombre produisent des ressources pour les colonies et villes voisines (une carte par colonie, deux par ville). Sur un 7, rien ne produit : tout joueur ayant plus de 7 cartes en main en défausse la moitié, arrondie à l'inférieur, et le joueur qui a lancé déplace le voleur. C'est pourquoi les terrains marqués 6 et 8 sont les plus productifs : ensemble, ils sortent 10 fois sur 36, près de 28 %, contre 2 fois sur 36 pour le 2 et le 12 réunis.

Craps

C'est le jeu de dés classique des casinos américains. Au premier lancer d'une manche, le come-out, un 7 ou un 11 fait gagner les mises sur la pass line, avec une probabilité de 8/36 (22,22 %). Un 2, un 3 ou un 12 les fait perdre (4/36, 11,11 %). Toute autre somme, 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, devient le point, et le lanceur doit la refaire avant de sortir un 7. Cela arrive sur deux come-out sur trois.

Jeu de l'oie

Le jeu de l'oie se joue souvent avec deux dés, parfois avec un seul selon les éditions. En Italie, où le gioco dell'oca se joue avec deux dés, une règle connue concerne le premier lancer : avec 6 et 3, on va directement à la case 26, avec 5 et 4, à la case 53. Les règles varient beaucoup d'un pays et d'une édition à l'autre, le mieux est donc de suivre celles imprimées avec son plateau.

Petits chevaux et jeux de parcours

Les petits chevaux et la plupart des jeux de parcours pour enfants se jouent avec un seul dé : un lanceur à un dé convient mieux. Leur cousin espagnol, le parchís, se joue lui aussi avec un dé dans sa forme classique, mais une variante à deux dés s'est répandue en ligne.

Galilée, le chevalier de Méré et la naissance des probabilités

Deux des problèmes les plus célèbres de l'histoire des probabilités sont nés autour des dés, et tous deux se résolvent avec le même type de dénombrement que le tableau ci-dessus.

Galilée et les trois dés

Au début du XVIIe siècle, Galilée a rédigé un court texte, connu sous le titre Sopra le scoperte dei dadi, pour répondre à une question de joueurs. Avec trois dés, le 9 et le 10 s'obtiennent chacun avec six combinaisons (pour le 9 : 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4 et 3-3-3), et pourtant l'expérience montrait que le 10 sortait un peu plus souvent. Galilée a résolu l'énigme en comptant les lancers dans l'ordre : sur les 216 résultats possibles avec trois dés, 27 donnent 10 et seulement 25 donnent 9. Les combinaisons sans ordre n'ont pas le même poids : 3-3-3 ne sort que d'une seule façon, alors que 1-2-6 sort de six façons. On raconte souvent que la question venait de la cour du grand-duc de Toscane, au service duquel travaillait Galilée, mais le texte lui-même ne nomme pas la personne qui l'a posée. C'est le paradoxe dit du grand-duc de Toscane.

C'est exactement pour cette raison qu'avec deux dés, un 1 et un 2 est deux fois plus probable qu'un double 1.

Le chevalier de Méré, Pascal et Fermat (1654)

Antoine Gombaud, connu sous le nom de chevalier de Méré, comparait deux paris. Le premier, obtenir au moins un 6 en quatre lancers d'un dé, est favorable : 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77 %. D'après la règle de proportion qu'utilisaient les joueurs de l'époque, le second aurait dû l'être aussi : le double six est six fois moins probable qu'un 6, donc six fois plus de lancers, soit 24, devaient suffire. Le calcul exact dit autre chose : la probabilité d'au moins un double six en 24 lancers de deux dés est de 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14 %, juste sous la moitié. Il faut 25 lancers pour dépasser 50 % (50,55 %).

Blaise Pascal rapporte la plainte de Méré dans une lettre à Pierre de Fermat datée du 29 juillet 1654. Leur correspondance de cette année-là, qui traite aussi du problème des partis (comment partager les mises quand une partie est interrompue), est considérée comme le point de départ du calcul des probabilités moderne.

La loi des grands nombres : pourquoi votre graphique ne ressemble pas à la théorie

Les probabilités du tableau décrivent ce qui se passe sur le long terme, pas lors d'une courte séance. Sur 36 lancers, on attendrait six 7, un 2 et un 12, mais il est tout à fait normal d'obtenir trois 7, ou dix, et aucun 12. La loi des grands nombres dit que la fréquence de chaque somme se rapproche de sa probabilité à mesure que le nombre de lancers augmente. Elle ne dit rien du lancer suivant.

Ce tableau indique, pour la somme 7, dans quelle fourchette tombe le décompte lors de 95 séances sur 100 (calcul avec la loi binomiale) :

Après 36 lancers, n'importe quel nombre de 7 entre 2 et 11 est normal. Après 1 000, la proportion se situe entre 14,4 % et 19 %, près des 16,67 % théoriques. Deux idées aident à lire le graphique :

• La fourchette se resserre lentement. Pour la diviser par deux, il faut quatre fois plus de lancers. Voilà pourquoi quelques dizaines de lancers semblent presque désordonnés, quelques centaines laissent deviner le triangle et plusieurs milliers placent les barres tout près des repères.
• Les dés n'ont pas de mémoire. Si le 7 n'est pas sorti depuis un moment, il garde au lancer suivant sa probabilité habituelle de 1/6. Le graphique se rapproche de la théorie parce que les séries du début pèsent de moins en moins parmi de nombreux lancers. Les dés ne compensent rien, et croire le contraire s'appelle l'erreur du joueur.

Conseils pratiques