Würfel für die Schule: zwei große Würfel zum Rechnen üben

So funktionieren die Würfel auf dieser Seite

Oben liegen zwei große Würfel, die auch von der letzten Bank aus gut zu erkennen sind, wenn die Seite über den Beamer oder das digitale Whiteboard läuft. Vor dem Würfeln stellt man zwei Dinge ein:

• Die Rechenart: Plus, Minus oder Mal. Die Seite nimmt die beiden gewürfelten Zahlen und schreibt die Aufgabe unter die Würfel.
• Den Würfeltyp: W6 (sechs Seiten, mit Augen), W10 (zehn Seiten) oder W12 (zwölf Seiten). Mit einem anderen Würfel steigt der Schwierigkeitsgrad, ohne dass sich das Spiel ändert.

Zum Würfeln tippt man auf Würfeln oder nimmt die Würfel mit der Maus oder dem Finger und lässt sie mit etwas Schwung über der Schale los. Sobald sie liegen, erscheint die Aufgabe mit einem Fragezeichen statt des Ergebnisses, etwa 4 · 6 = ?. Die Kinder rechnen, antworten laut oder schreiben auf ihr Whiteboard, und dann wird mit Lösung zeigen kontrolliert.

Zwei Einzelheiten sind wichtig:

• Bei Minusaufgaben steht die größere Zahl immer vorn. Fallen eine 2 und eine 9, schreibt die Seite 9 − 2 = ?. Negative Ergebnisse kommen also nie vor. Zeigen beide Würfel dieselbe Zahl, ist das Ergebnis 0.
• Beim W10 zählt die 0 als 10. So wird ein einzelner Zehnerwürfel üblicherweise gelesen; der W10 liefert also Zahlen von 1 bis 10.

Warum Würfel im Unterricht so gut funktionieren

Würfel gehören in vielen Ländern seit Jahrzehnten zum Mathematikunterricht der Grundschule, und die Mathematikdidaktik begründet das gut. Diese Argumente tauchen in Fortbildungsmaterialien immer wieder auf.

Mengen erfassen, ohne zu zählen

Die Seiten eines Spielwürfels sind feste Punktbilder. Kinder im Kindergarten zählen zuerst Auge für Auge, mit etwas Übung erkennen sie die Fünf oder die Sechs aber auf einen Blick an ihrer Form. Dieser Schritt vom Einzelzählen zum Erfassen von Strukturen gehört zu den Grundlagen des Rechnens, und in der Grundschuldidaktik wird er gezielt mit Würfel- und Dominobildern geübt. Die Simultanerfassung sehr kleiner Mengen bis etwa vier gelingt schon vor der Schule; größere, strukturierte Mengen auf einen Blick zu erkennen, muss im Unterricht gelernt werden.

Kopfrechnen mit einem Anlass

Ein Arbeitsblatt mit zwanzig Aufgaben und ein Wurf mit zwei Würfeln verlangen dieselbe Rechnung, aber der Wurf verändert die Stimmung. Nicht die Lehrkraft wählt die Zahlen, jede Aufgabe ist anders, und vor jedem Wurf gibt es einen kleinen Moment der Spannung. Das NRICH-Projekt der Universität Cambridge betont, dass solche Spiele Rechnen, Schätzen und Strategie verbinden und sich über die Zielzahl leicht an jede Gruppe anpassen lassen.

Sehen, was jedes Kind kann

Beim Spielen erklären die Kinder, was sie tun. Die Lehrkraft hört, wer an den Fingern abzählt, wer von der größeren Zahl aus weiterzählt und wer das Ergebnis schon auswendig weiß. Würfelspiele werden deshalb auch als Diagnoseinstrument zu Beginn des Schuljahres empfohlen: Man sieht, was ein Kind kann, ohne dass es sich wie eine Prüfung anfühlt.

Regeln, Abwarten, Sprechen

Warten, bis man dran ist, das Würfelergebnis annehmen und einen Zug erklären sind eigene Lernziele. In Partner- oder Gruppenarbeit verteilt der Würfel das Glück neutral, und niemand beschwert sich, er habe die schwere Aufgabe bekommen.

Ein Einstieg in die Wahrscheinlichkeit

Der Würfel ist das klassische Zufallsexperiment. Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz für die Grundschule enthalten die Leitidee „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“: Am Ende von Klasse 4 sollen Kinder Begriffe wie sicher, unmöglich und wahrscheinlich kennen und Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten einschätzen, ausdrücklich auch bei Würfelspielen. Mit dem Würfel kommt man von „ich glaube, die 7 kommt öfter“ zum Zählen, Notieren und Vergleichen.

Es gibt dazu auch Studien mit Kontrollgruppen. In Untersuchungen von Robert Siegler und Geetha Ramani (2008) spielten Vorschulkinder aus einkommensschwachen Familien zwei Wochen lang viermal pro Woche ein lineares Brettspiel mit den Feldern 1 bis 10 und zogen mit einem Zahlendrehrad. Danach ordneten sie Zahlen auf einem Zahlenstrahl genauer ein als Kinder, die eine Farbversion des Spiels gespielt hatten. Ein gerader Spielplan wirkte besser als ein kreisförmiger.

Welcher Würfel für welche Klassenstufe

Der Würfeltyp bestimmt den Zahlenraum. Diese Tabelle, berechnet über alle möglichen Kombinationen der beiden Würfel, zeigt, welche Ergebnisse jeder Würfel liefert:

Ein nützlicher Hinweis für die Planung: Mit dem W6 gibt es nur 18 verschiedene Produkte, weil sich einige wiederholen (6 entsteht aus 1 · 6 und 2 · 3, 12 aus 2 · 6 und 3 · 4). Mit dem W12 sind es 59.

Zwölf Würfelideen für Kindergarten, Grundschule und Sekundarstufe

Kindergarten und Vorschule (3 bis 6 Jahre)

• Wie viele Augen siehst du? W6, Rechenart Plus. Würfeln, die Würfel zwei, drei Sekunden zeigen und fragen, wie viele Augen jeder Würfel hat. Dann gemeinsam zählen und Lösung zeigen. Anfangs wird Auge für Auge gezählt, nach und nach werden die Würfelbilder auf einen Blick erkannt.
• Wer hat mehr? Zwei Gruppen, jede bekommt einen Würfel. Die Gruppe mit mehr Augen gewinnt die Runde. So wird Vergleichen (mehr, weniger, gleich viel) vor dem Addieren geübt.

Klasse 1 und 2

Klasse 3 und 4

Klasse 5 und 6

• Kettenrechnen. Mit dem W12. Dreimal hintereinander würfeln und dabei die Rechenart wechseln (plus, mal, minus); die Klasse rechnet im Kopf mit dem Zwischenergebnis weiter. Am Ende schreibt jedes Kind sein Endergebnis auf, dann wird verglichen.

Sekundarstufe I

• Relative Häufigkeiten bei der Augensumme. Plus mit dem W6. Jedes Kind würfelt eine feste Anzahl von Malen und notiert die Augensummen in einer Strichliste. Die Daten der Klasse werden zusammengeführt und mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten verglichen (siehe nächster Abschnitt).
• Ist das Spiel fair? Mal mit dem W6: Spieler A gewinnt bei geradem Produkt, Spieler B bei ungeradem. Vorher schätzt jeder, ob das fair ist. Nach einigen Würfen wird ausgezählt: Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Zahlen ungerade sind, also in 9 von 36 Fällen. A gewinnt somit 27 von 36 Würfen (75 %).

Zufallsexperiment: die Augensumme zweier Würfel

Dieses Experiment ist im Unterricht so beliebt, weil das Ergebnis überrascht. Zwei Spielwürfel ergeben 36 gleich wahrscheinliche Kombinationen, die Augensummen sind aber nicht gleich wahrscheinlich: Die 7 lässt sich auf sechs Arten werfen (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), die 2 und die 12 nur auf eine.

Ablauf

1. W6 und Rechenart Plus einstellen.
2. Vorher tippt jedes Kind, welche Summe am häufigsten fällt. Meist gibt es Stimmen für die 12 und für „Glückszahlen“.
3. Würfe aufteilen: In einer Klasse mit 30 Kindern ergeben zwölf Würfe pro Kind 360 Würfe. Jedes Kind führt eine Strichliste von 2 bis 12.
4. Die Daten an der Tafel zusammentragen und die relative Häufigkeit jeder Summe berechnen (Anzahl geteilt durch alle Würfe).
5. Mit der Tabelle der erwarteten Häufigkeiten vergleichen.

Erwartete Häufigkeiten

Was man bei echten Daten erwarten kann

Die Klassendaten werden nicht genau mit der Tabelle übereinstimmen, und genau das gehört zur Stunde. Bei 36 Würfen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die 7 genau sechsmal fällt, nur bei etwa 18 %, und mit 36 % Wahrscheinlichkeit fällt die 2 kein einziges Mal. Bei 100 Würfen liegt die Zahl der Siebenen in 82 % der Fälle zwischen 12 und 21, bei 360 Würfen in 86 % der Fälle zwischen 50 und 70. Je mehr Würfe, desto näher kommen die relativen Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten. Das ist das Gesetz der großen Zahlen, und man sieht es am besten, wenn man die Strichliste eines einzelnen Kindes mit der ganzen Klasse vergleicht.

Klassische Würfelspiele für den Unterricht

Viele traditionelle Spiele üben das Rechnen mit nicht mehr als einem oder zwei Würfeln und Papier. Diese werden in Schulen am häufigsten eingesetzt:

Würfelwissen für die Klasse

• Gegenüberliegende Seiten eines Spielwürfels ergeben zusammen 7: 1 gegenüber 6, 2 gegenüber 5, 3 gegenüber 4. Eine gute Frage an die Kinder: Wenn oben die 2 liegt, welche Zahl berührt den Tisch?
• Der W12 ist ein regelmäßiger Körper (ein Dodekaeder mit fünfeckigen Seiten, einer der fünf platonischen Körper), genau wie der W6 ein Würfel ist. Der W10 ist das nicht: Er ist ein fünfseitiges Trapezoeder mit drachenförmigen Seiten.
• Vielseitige Würfel kamen früher in die Schule als ins Rollenspiel. Anfang der 1970er-Jahre verkaufte ein amerikanischer Lehrmittelhändler bereits Sätze von Würfeln in Form platonischer Körper für den Mathematikunterricht, bevor Rollenspiele sie bekannt machten.
• Galilei und die drei Würfel: Anfang des 17. Jahrhunderts erklärte Galileo Galilei, warum bei drei Würfeln die 10 etwas häufiger fällt als die 9, obwohl sich beide auf sechs Arten als Summe dreier Zahlen schreiben lassen. Zählt man alle geordneten Kombinationen, kommt die 10 in 27 von 216 vor, die 9 in 25.
• Die moderne Wahrscheinlichkeitsrechnung begann mit einer Frage zu Würfelspielen. Um 1654 schrieben sich Blaise Pascal und Pierre de Fermat Briefe, um Glücksspielprobleme zu lösen, die ihnen der Chevalier de Méré gestellt hatte.

Praktische Tipps: digitales Whiteboard und Ablauf im Unterricht

Die Würfel am digitalen Whiteboard zeigen

Ein Würfel auf dem Bildschirm hat im Klassenzimmer praktische Vorteile: Er fällt nicht vom Tisch, er macht keinen Lärm, und alle sehen im selben Moment dasselbe Ergebnis.

So holt man im Unterricht mehr heraus