Due dadi online: lancia 2 dadi a 6 facce

Come si usano i due dadi di questa pagina

Nel vassoio qui sopra ci sono due normali dadi a sei facce, quelli che nei giochi di ruolo si indicano con 2d6. Si possono lanciare in due modi:

• Con il pulsante Lancia: i due dadi partono con una spinta casuale, rotolano nel vassoio e si fermano da soli.
• Trascinando e rilasciando: prendi i dadi con il mouse o con il dito, muovili e lasciali andare. La velocità con cui li rilasci diventa la forza del lancio, come quando si tirano a mano.

Quando entrambi i dadi sono fermi, la pagina legge la faccia superiore di ciascuno e mostra i due valori e la loro somma. Se i due dadi danno lo stesso numero compare l'avviso di doppio, che conta in giochi come il backgammon o il Monopoly.

Sotto si forma il conteggio della sessione: quante volte è uscita ogni somma da 2 a 12, con una barra per somma e un riferimento a quanto ci si dovrebbe aspettare secondo la probabilità. Così si vede, lancio dopo lancio, la distribuzione avvicinarsi a quella teorica.

Le 36 combinazioni di due dadi e la tabella delle somme

Ogni dado ha 6 facce, quindi due dadi danno 6 × 6 = 36 risultati possibili. Per contarli bene bisogna distinguere i due dadi, come se uno fosse rosso e l'altro blu: un 1 sul rosso con un 2 sul blu è un risultato diverso da un 2 sul rosso con un 1 sul blu, anche se in entrambi i casi la somma è 3. Con dadi non truccati ognuno di questi 36 risultati ha la stessa probabilità, 1/36.

Le somme invece non sono equiprobabili, perché ciascuna si ottiene con un numero diverso di combinazioni. Ecco la tabella completa:

L'ultima colonna indica ogni quanti lanci esce una somma nel lungo periodo: il 7 una volta ogni 6, il 2 e il 12 una volta ogni 36. Le somme possibili sono 11, da 2 a 12.

Se non si tiene conto dell'ordine, le coppie diverse sono 21: 6 doppi e 15 coppie di numeri diversi. Questo conteggio dice quali coppie esistono, ma non serve a calcolare le probabilità, perché le coppie non hanno tutte lo stesso peso. Ogni doppio esce in un solo modo su 36, ogni coppia di numeri diversi in due. Per questo un 1 e un 2 (in qualsiasi ordine) è due volte più probabile di un doppio 1.

Perché il 7 è la somma più probabile

Il 7 è l'unica somma che si può ancora ottenere qualunque sia il numero del primo dado. Se il primo dà 1, al secondo serve un 6; se dà 2, un 5; se dà 3, un 4, e così via fino al 6, che chiede un 1. C'è sempre esattamente una faccia del secondo dado che dà 7, quindi la probabilità è 6/36, cioè 1/6 (16,67%).

Per tutte le altre somme il primo dado esclude già qualche possibilità. Per fare 8 un 1 sul primo dado non serve, perché il secondo dovrebbe segnare 7. Per il 12 va bene solo un 6 su entrambi. Più una somma si allontana dal 7, più valori del primo dado restano esclusi: per questo la tabella scende di un gradino alla volta verso gli estremi e disegna un triangolo simmetrico. Il 6 e l'8 hanno la stessa probabilità, come il 5 e il 9, il 4 e il 10, il 3 e l'11, il 2 e il 12.

Il 7 è anche il valore medio della somma. Un dado dà in media 3,5, due dadi quindi 7. La deviazione standard è di circa 2,42 punti, e due lanci su tre cadono tra 5 e 9 (24 combinazioni su 36, il 66,67%).

Essere la somma più frequente non rende il 7 quasi sicuro: in cinque lanci su sei esce altro. Esce semplicemente più spesso di qualsiasi altra somma presa da sola.

Probabilità con due dadi: doppi, almeno un 6 e altri risultati

Ogni calcolo con due dadi si riduce a contare quanti dei 36 risultati corrispondono a ciò che si cerca. Le domande più comuni:

Su più lanci, la probabilità di vedere un risultato almeno una volta cresce più lentamente di quanto si pensi. Si calcola come 1 meno la probabilità di non vederlo mai: per i doppi, 1 − (5/6) elevato al numero di lanci; per il 12, 1 − (35/36) elevato al numero di lanci.

Nemmeno 36 lanci garantiscono un 12: resta un 36% di probabilità di non vederlo. E per veder uscire tutte le somme da 2 a 12 almeno una volta servono in media circa 61 lanci, soprattutto per colpa del 2 e del 12.

Giochi che si giocano con due dadi

Molti giochi da tavolo classici usano due dadi a sei facce. Ecco le regole sui dadi dei più conosciuti, cioè quello che serve sapere per usare questa pagina al posto dei dadi veri.

Gioco dell'oca

In Italia il gioco dell'oca si gioca con due dadi a sei facce. Al primo lancio c'è una regola speciale: con 6 e 3 si va direttamente alla casella 26, con 5 e 4 alla casella 53. Quando si finisce su una casella con l'oca si avanza di nuovo dello stesso numero appena tirato. Il traguardo è la casella 63 e va raggiunto con il punteggio esatto: i punti in eccesso si contano all'indietro. Le altre caselle speciali, come il ponte, la locanda, il pozzo, il labirinto, la prigione e lo scheletro, cambiano un po' da un'edizione all'altra.

Backgammon

A ogni turno si lanciano due dadi e si muovono le pedine secondo i due valori, con una pedina sola o con due. Un doppio si gioca quattro volte invece di due: con 5-5 si fanno quattro mosse da cinque punte. Se si può giocare solo uno dei due valori, bisogna giocare il più alto. Per iniziare la partita ogni giocatore lancia un solo dado; chi fa di più comincia e muove con i due numeri appena usciti. In caso di parità si rilancia. Il dado del raddoppio che accompagna il tavoliere non è un vero dado: riporta 2, 4, 8, 16, 32 e 64, non si lancia mai e serve solo a segnare la posta.

Monopoly

Si avanza di tante caselle quanto è la somma dei due dadi. Chi fa un doppio muove e poi lancia di nuovo. Chi fa tre doppi di fila nello stesso turno va direttamente in prigione senza fare la terza mossa. La probabilità di tre doppi di fila è di 1 su 216, lo 0,46%.

Catan

All'inizio di ogni turno si lanciano due dadi e si sommano. Tutti i terreni con quel numero producono risorse per le colonie e le città adiacenti (una carta per colonia, due per città). Con il 7 non produce nessuno: chi ha in mano più di 7 carte ne scarta metà, arrotondando per difetto, e il giocatore di turno sposta il ladro. Per questo i terreni con il 6 e con l'8 sono i più produttivi: insieme escono 10 volte su 36, quasi il 28%, mentre il 2 e il 12 insieme escono solo 2 volte su 36.

Craps

È il gioco di dadi classico dei casinò americani. Al primo lancio di una mano, il come-out, un 7 o un 11 fa vincere chi ha puntato sulla pass line, con una probabilità di 8/36 (22,22%). Un 2, un 3 o un 12 fa perdere (4/36, 11,11%). Qualsiasi altra somma, 4, 5, 6, 8, 9 o 10, diventa il punto, e chi lancia deve ripeterla prima che esca un 7. Succede in due come-out su tre.

Non t'arrabbiare e giochi di percorso

Non t'arrabbiare (il Ludo) e la maggior parte dei giochi di percorso per bambini si giocano con un solo dado, quindi per quelli basta un dado online singolo. Il parchís spagnolo, suo parente, si gioca anch'esso con un dado nella forma classica, ma ha una variante a due dadi diffusa soprattutto online.

Galileo, il cavaliere di Méré e la nascita della probabilità

Due dei problemi più citati nella storia della probabilità sono nati al tavolo da gioco, e tutti e due si risolvono con lo stesso tipo di conteggio della tabella qui sopra.

Galileo e i tre dadi

All'inizio del Seicento Galileo Galilei scrisse un breve testo, noto come Sopra le scoperte dei dadi, per rispondere a un dubbio dei giocatori. Con tre dadi il 9 e il 10 si possono formare con sei combinazioni ciascuno (per il 9: 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4 e 3-3-3), eppure l'esperienza diceva che il 10 usciva un po' più spesso. Galileo risolse la questione contando i lanci tenendo conto dell'ordine: dei 216 risultati possibili con tre dadi, 27 danno 10 e solo 25 danno 9. Le combinazioni senza ordine non pesano allo stesso modo: 3-3-3 esce in un solo modo, 1-2-6 in sei. Di solito si racconta che la domanda venisse dalla corte del granduca di Toscana, al cui servizio lavorava Galileo, anche se il testo non dice chi gliel'avesse posta.

È lo stesso motivo per cui, con due dadi, un 1 e un 2 è due volte più probabile di un doppio 1.

Il cavaliere di Méré, Pascal e Fermat (1654)

Antoine Gombaud, noto come cavaliere di Méré, confrontava due scommesse. La prima, fare almeno un 6 in quattro lanci di un dado, è favorevole: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77%. Secondo la regola di proporzione usata dai giocatori dell'epoca, anche la seconda avrebbe dovuto esserlo: il doppio 6 è sei volte meno probabile di un 6, quindi sarebbero bastati sei volte più lanci, cioè 24. Il calcolo corretto dice altro: la probabilità di almeno un doppio 6 in 24 lanci di due dadi è 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14%, appena sotto la metà. Servono 25 lanci per superare il 50% (50,55%).

Blaise Pascal riferisce il lamento di Méré in una lettera a Pierre de Fermat del 29 luglio 1654. Il loro carteggio di quell'anno, dedicato anche al cosiddetto problema delle parti (come dividere la posta se una partita si interrompe), è considerato il punto di partenza della teoria della probabilità moderna.

La legge dei grandi numeri: perché il tuo grafico non somiglia a quello teorico

Le probabilità della tabella descrivono ciò che succede nel lungo periodo, non in una sessione breve. In 36 lanci ci si aspetterebbero sei 7, un 2 e un 12, ma è del tutto normale ottenere tre 7, oppure dieci, e nessun 12. La legge dei grandi numeri dice che la frequenza di ogni somma si avvicina alla sua probabilità man mano che i lanci aumentano. Non dice nulla sul lancio successivo.

Questa tabella mostra, per la somma 7, l'intervallo in cui cade il conteggio in 95 sessioni su 100 (calcolo con la distribuzione binomiale):

Dopo 36 lanci, qualsiasi numero di 7 tra 2 e 11 è normale. Dopo 1000, la percentuale sta tra il 14,4% e il 19%, vicino al 16,67% teorico. Due idee aiutano a leggere il grafico:

• L'intervallo si stringe lentamente. Per dimezzarlo servono quattro volte più lanci. Per questo poche decine di lanci sembrano quasi casuali, qualche centinaio lascia intravedere il triangolo e diverse migliaia portano le barre molto vicine ai riferimenti.
• I dadi non hanno memoria. Se il 7 non esce da un po', al lancio successivo ha la solita probabilità di 1/6. Il grafico si avvicina alla teoria perché le serie iniziali pesano sempre meno in mezzo a tanti lanci. I dadi non compensano niente, e credere il contrario si chiama fallacia dello scommettitore, la stessa che spinge a giocare i numeri ritardatari.

Consigli pratici