Calcolatore di probabilità dei dadi

Come usare il calcolatore

In alto scegli tre cose: quanti dadi, di che tipo (d4, d6, d8, d10, d12 o d20) e che cosa vuoi calcolare. La notazione NdX indica N dadi a X facce: 2d6 sono due normali dadi a sei facce e 1d20 è un solo dado a venti facce. Gli obiettivi possibili sono quattro:

Il risultato è la probabilità esatta, calcolata su tutte le combinazioni possibili, insieme a un grafico con la distribuzione completa della somma, così vedi subito quali valori sono frequenti e quali rari. Se vuoi controllare con dei lanci veri, premi Lancia oppure trascina i dadi e rilasciali nel vassoio: i dadi 3D usano una fisica reale, quindi ogni lancio è indipendente dal precedente. Con dieci o venti lanci i risultati possono allontanarsi parecchio dalla percentuale teorica; solo con centinaia di lanci la frequenza osservata si avvicina alla probabilità.

Concetti di base: spazio campionario, eventi e probabilità classica

Lanciare un dado è un esperimento aleatorio: sai che cosa può uscire, ma non che cosa uscirà. L'insieme di tutti i risultati possibili si chiama spazio campionario (Ω). Con un dado a sei facce è {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Con due dadi conviene distinguerli (immagina uno rosso e uno blu): lo spazio campionario ha allora 6 × 6 = 36 coppie ordinate, da (1,1) a (6,6), che a scuola si rappresentano con una tabella a doppia entrata. Con tre dadi i risultati sono 6³ = 216, e in generale NdX ne ha Xᴺ.

Un evento è qualsiasi insieme di risultati che ti interessa: «esce un numero pari» è {2, 4, 6}; «la somma di due dadi è 4» è {(1,3), (2,2), (3,1)}. Se tutti i risultati sono equiprobabili, come con un dado non truccato, vale la definizione classica di probabilità (di Laplace):

P(E) = casi favorevoli / casi possibili

La probabilità di fare un numero pari con un dado è quindi 3/6 = 1/2, e quella che due dadi facciano 4 è 3/36 = 1/12. Con altri due strumenti si risolvono quasi tutti i problemi sui dadi:

• Evento contrario (o complementare): P(non E) = 1 − P(E). È la scorciatoia per ogni domanda del tipo «almeno uno».
• Eventi indipendenti: ciò che mostra un dado non influisce su un altro dado né sul lancio successivo, quindi le probabilità si moltiplicano. Due 6 di fila: 1/6 × 1/6 = 1/36.

L'errore più frequente all'inizio è contare le combinazioni senza tenere conto dell'ordine. La somma 4 con due dadi può venire da 1+3 o da 2+2, ma i due casi non sono equiprobabili: 1+3 si presenta in due modi (1 sul rosso e 3 sul blu, o viceversa) e 2+2 in uno solo. Per questo la probabilità è 3/36 e non 2/21.

Probabilità di fare almeno un 6 in n lanci

Calcolare direttamente «almeno un 6» costringerebbe a sommare i casi con un 6, due 6, tre 6 e così via. Passare per l'evento contrario è molto più rapido. La probabilità di non fare 6 in un lancio è 5/6, e in n lanci indipendenti è (5/6)ⁿ. Quindi:

P(almeno un 6 in n lanci) = 1 − (5/6)ⁿ

Lanciare un dado n volte o n dadi insieme è la stessa cosa: la probabilità non cambia.

Dalla tabella si vedono tre cose. Con 4 lanci si supera per la prima volta il 50%. Sei lanci non garantiscono un 6, anche se «uno su sei» sembra suggerirlo: la probabilità è del 66,51%. E non si arriva mai al 100%: per superare il 90% servono 13 lanci, per il 99% ne servono 26.

La formula vale per qualsiasi valore e qualsiasi dado: con un d20, la probabilità di almeno un 20 in n lanci è 1 − (19/20)ⁿ, e con un d4 quella di almeno un 4 è 1 − (3/4)ⁿ. Nel calcolatore corrisponde all'obiettivo «almeno un V».

Probabilità con due dadi: tabella delle somme

Con due dadi a sei facce ci sono 36 risultati equiprobabili e la somma va da 2 a 12. Ogni somma ha un numero diverso di combinazioni: il 7 esce in sei modi (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1), mentre il 2 e il 12 in uno solo. La formula è P(S) = (6 − |S − 7|) / 36.

Nel gioco servono soprattutto le colonne cumulative. Fare 8 o più ha probabilità 15/36 = 41,67%; 10 o più, 6/36 = 16,67%. Altri valori utili con due dadi: un doppio (i due dadi uguali) 6/36 = 1/6; almeno un 6 11/36 = 30,56%; un doppio 6 1/36 = 2,78%.

Per questa forma a triangolo, i giochi che distribuiscono risorse in base alla somma di due dadi ruotano intorno al 7. In Catan, per esempio, gli esagoni con il 6 e l'8 producono più spesso di quelli con il 2 o il 12, e con il 7 non si produce nulla e si sposta il brigante.

Somma di tre dadi e la domanda posta a Galileo

Con tre dadi lo spazio campionario ha 216 risultati e le somme vanno da 3 a 18. La forma non è più un triangolo ma una campana: i valori centrali, 10 e 11, sono i più probabili, con 27 combinazioni ciascuno (12,5%), mentre 3 e 18 escono in un solo modo (0,46%). La distribuzione è simmetrica attorno a 10,5, quindi fare 3 è probabile quanto fare 18, 4 quanto 17, e così via.

Perché il 10 esce più del 9

I giocatori avevano notato che con tre dadi il 10 usciva un po' più spesso del 9, anche se entrambi si possono ottenere con sei terne diverse: il 9 come 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 e 3+3+3, il 10 come 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 e 3+3+4. Galileo Galilei lo spiegò in un breve scritto noto come Sopra le scoperte dei dadi, in cui parla anche dei giochi della zara. Si racconta spesso che la domanda venisse dalla corte del Granduca di Toscana, per cui Galileo lavorava come matematico dal 1610; il testo dice soltanto che scrive per accontentare chi gliel'ha chiesto.

La chiave è l'ordine. Una terna con tre numeri diversi, come 1+2+6, può uscire in 6 modi a seconda di quale dado mostra ciascun numero; una con due numeri uguali, come 1+4+4, in 3 modi; una con tre numeri uguali, come 3+3+3, in un solo modo. Sommando: il 9 ha 6+6+3+3+6+1 = 25 risultati e il 10 ne ha 6+6+3+6+3+3 = 27. La differenza è di 2 casi su 216 (11,57% contro 12,5%), meno di un punto percentuale, eppure i giocatori se n'erano accorti con l'esperienza.

Il cavaliere di Méré, Pascal e Fermat (1654)

Antoine Gombaud, noto come cavaliere di Méré, era uno scrittore francese appassionato di gioco e di matematica. Pose a Blaise Pascal due questioni. La più famosa è il problema delle parti: come dividere in modo equo la posta quando una partita a più round viene interrotta prima della fine. Pascal ne discusse per lettera con Pierre de Fermat nell'estate del 1654, e quella corrispondenza è considerata il punto di partenza della moderna teoria della probabilità.

L'altra questione riguardava i dadi. Nella lettera a Fermat del 29 luglio 1654, Pascal racconta che Méré vedeva una contraddizione nei numeri:

• Scommettere su almeno un 6 in 4 lanci di un dado è vantaggioso, nel rapporto di 671 a 625.
• Scommettere su almeno un doppio 6 in 24 lanci di due dadi è svantaggioso.

Méré ragionava con una proporzione: un dado ha 6 facce e bastano 4 lanci; due dadi hanno 36 combinazioni, quindi 24 lanci dovrebbero dare lo stesso vantaggio, perché 4 sta a 6 come 24 sta a 36. La proporzione qui non funziona, come mostra il calcolo con l'evento contrario:

I numeri della lettera tornano esattamente: dei 6⁴ = 1296 risultati di quattro lanci, 5⁴ = 625 non contengono nessun 6 e i restanti 671 ne contengono almeno uno. Perché la scommessa sul doppio 6 superi il 50% servono 25 lanci. Lo scarto con 24 lanci è piccolo, meno di un punto sotto il 50%, ma basta a rendere la scommessa perdente nel lungo periodo.

Il primo studio scritto sulle probabilità con i dadi è ancora più antico: il Liber de ludo aleae di Gerolamo Cardano, terminato intorno al 1563 ma pubblicato solo nel 1663, quasi un secolo dopo.

Distribuzione di NdX, media e varianza

Per N dadi a X facce, la probabilità di ogni somma si ottiene contando quante delle Xᴺ combinazioni danno quella somma. Il metodo generale si chiama convoluzione: si parte da un dado (ogni faccia con probabilità 1/X) e si aggiungono i dadi uno alla volta. La probabilità di fare S con un dado in più è la media, su ogni faccia c del nuovo dado, della probabilità di aver fatto S − c con i dadi precedenti. Così sono costruite le tabelle qui sopra, ed è per questo che il calcolatore dà valori esatti e non stime da simulazione. Esiste anche una formula chiusa con i coefficienti binomiali, ma a mano è più pratico sommare colonna per colonna.

Ogni dado in più smussa la forma: un dado dà una distribuzione uniforme, due un triangolo, tre una campana con i fianchi quasi dritti, e da quattro o cinque dadi in su la curva somiglia molto alla gaussiana. È quello che afferma il teorema del limite centrale: la somma di molte variabili indipendenti con la stessa distribuzione tende a una distribuzione normale, qualunque sia la forma di ciascuna. Con 4d6, per esempio, la somma più probabile è 14 (146 combinazioni su 1296, 11,27%).

Media e varianza di un dado

La media, o valore atteso, di un dado a sei facce è (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Non è un numero che può uscire, ma la media verso cui tendono molti lanci. La varianza è la media dei quadrati meno il quadrato della media: 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92, e la deviazione standard è √(35/12) ≈ 1,71. Per un dado a X facce numerate da 1 a X, la media è (X+1)/2 e la varianza (X² − 1)/12.

Con N dadi, media e varianza si moltiplicano per N (le varianze si sommano perché i dadi sono indipendenti). Così 10d6 ha media 35 e deviazione standard √(10 × 35/12) ≈ 5,40. La probabilità esatta che la somma sia compresa tra 30 e 40 è del 68,70%, molto vicina al 68% che la normale prevede per una deviazione standard da ciascun lato della media.

Esercizi svolti di probabilità con i dadi ed errori comuni

Sono i tipi di esercizio che compaiono più spesso alle medie e alle superiori. I dadi sono sempre a sei facce e non truccati.

1. Somma 7 con due dadi

Casi possibili: 36. Favorevoli: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1), cioè 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67%.

2. Almeno un 6 lanciando due dadi

Evento contrario: nessun 6, che capita in 5 × 5 = 25 casi. P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,56%. L'errore tipico è sommare 1/6 + 1/6 = 12/36, che conta due volte (6,6).

3. Somma almeno 10 con due dadi

Somma 10: 3 casi; somma 11: 2 casi; somma 12: 1 caso. Totale: 6. P = 6/36 = 1/6.

4. Il prodotto di due dadi è pari

Il prodotto è dispari solo se entrambi i dadi sono dispari: 3 × 3 = 9 casi. P(pari) = 1 − 9/36 = 3/4 = 75%.

5. Numero pari oppure maggiore di 4 con un dado

Pari: {2, 4, 6}. Maggiore di 4: {5, 6}. L'unione è {2, 4, 5, 6}, cioè 4 casi. P = 4/6 = 2/3. Sommando 3/6 + 2/6 = 5/6 si conta due volte il 6; bisogna togliere l'intersezione: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

6. Tre dadi con numeri tutti diversi

Il primo dado può mostrare qualsiasi numero (6 possibilità), il secondo uno diverso (5) e il terzo uno diverso da entrambi (4): 6 × 5 × 4 = 120 su 216. P = 5/9 ≈ 55,56%. Tutti e tre uguali: 6/216 = 1/36.

7. Esattamente due 6 con quattro dadi

È una distribuzione binomiale. Modi di scegliere quali due dadi fanno 6: C(4,2) = 6. Ciascuno ha probabilità (1/6)² × (5/6)² = 25/1296. P = 6 × 25/1296 = 25/216 ≈ 11,57%.

8. Quanti lanci servono per avere almeno il 90% di probabilità di fare 6?

Si cerca il più piccolo n con 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9, cioè (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Con i logaritmi: n ≥ log 0,1 / log (5/6) ≈ 12,63. Risposta: 13 lanci, con una probabilità del 90,65%.

Errori comuni