2 dados online: lanza dos dados de 6 caras

Cómo usar los dos dados de esta página

Arriba tienes dos dados de seis caras ya preparados, lo que en los juegos de rol se escribe 2d6. Se pueden lanzar de dos maneras:

• Con el botón Lanzar: los dos dados salen con un impulso al azar, ruedan por la bandeja y se paran solos.
• Arrastrando y soltando: coge los dados con el ratón o con el dedo, muévelos y suéltalos. La velocidad con la que los sueltas se convierte en la fuerza del lanzamiento, como cuando se tiran con la mano.

Cuando los dos dados se detienen, la página lee la cara de arriba de cada uno y muestra los dos números y su suma. Si los dos marcan lo mismo, aparece el aviso de doble, que es lo que cuenta en juegos como el backgammon o el Monopoly.

Debajo se va formando el recuento de la sesión: cuántas veces ha salido cada suma del 2 al 12, con una barra por suma y la referencia de lo que cabría esperar según la probabilidad. Así se ve en directo cómo, tirada a tirada, el reparto se va pareciendo al teórico.

Las 36 combinaciones de dos dados y la tabla de sumas

Cada dado tiene 6 caras, así que dos dados dan 6 × 6 = 36 resultados posibles. Para contarlos bien hay que distinguir un dado del otro, como si uno fuera rojo y el otro azul: un 1 en el rojo con un 2 en el azul es un resultado distinto de un 2 en el rojo con un 1 en el azul, aunque la suma sea 3 en los dos casos. Con dados equilibrados, cada uno de esos 36 resultados tiene la misma probabilidad, 1/36.

Las sumas no son igual de probables, porque cada una se forma con un número distinto de combinaciones. Esta es la tabla completa:

La columna de frecuencia media indica cada cuántas tiradas sale esa suma a la larga: el 7, una vez de cada 6; el 2 y el 12, una de cada 36. Las sumas posibles son 11, del 2 al 12.

Si no se tiene en cuenta el orden, hay 21 parejas distintas: 6 dobles y 15 parejas de números diferentes. Ese recuento sirve para saber qué parejas existen, pero no para calcular probabilidades, porque no todas valen lo mismo. Cada doble sale de una sola forma entre las 36, y cada pareja de números distintos, de dos. Por eso un 1 y un 2 (en cualquier orden) es el doble de probable que un doble 1.

Por qué el 7 es la suma más probable

El 7 es la única suma que se puede conseguir sea cual sea el número del primer dado. Si el primero marca 1, el segundo necesita un 6; si marca 2, un 5; si marca 3, un 4, y así hasta el 6, que se completa con un 1. Siempre hay una cara del segundo dado que da 7, de modo que la probabilidad es 6/36, es decir, 1/6 (16,67 %).

Con las demás sumas el primer dado ya descarta opciones. Para sacar 8, un 1 en el primer dado no sirve, porque el segundo tendría que marcar 7. Para el 12 solo vale un 6 en cada dado. Cuanto más se aleja la suma del 7, más valores del primer dado quedan fuera, y por eso la tabla baja de uno en uno hacia los extremos y dibuja un triángulo simétrico: el 6 y el 8 tienen la misma probabilidad, igual que el 5 y el 9, el 4 y el 10, el 3 y el 11, o el 2 y el 12.

El 7 es también la media de la suma. La media de un dado es 3,5 y la de dos, 7. La desviación típica es de unos 2,42 puntos, y dos de cada tres tiradas caen entre el 5 y el 9 (24 de las 36 combinaciones, un 66,67 %).

Que el 7 sea la suma más frecuente no significa que salga casi siempre: en cinco de cada seis tiradas sale otra cosa. Lo que ocurre es que ninguna otra suma por separado sale tanto.

Probabilidad de dobles, de sacar un 6 y otras jugadas

Todos los cálculos con dos dados se resuelven contando cuántos de los 36 resultados cumplen lo que se busca. Las dudas más habituales:

Cuando se repiten tiradas, la probabilidad de que algo salga al menos una vez sube más despacio de lo que parece. Se calcula como 1 menos la probabilidad de que no salga nunca: para los dobles, 1 − (5/6) elevado al número de tiradas; para el 12, 1 − (35/36) elevado al número de tiradas.

Ni en 36 tiradas está garantizado un 12: queda un 36 % de probabilidad de no verlo. Y para ver salir todas las sumas del 2 al 12 al menos una vez hacen falta, de media, unas 61 tiradas, casi siempre por culpa del 2 y del 12.

Juegos que se juegan con dos dados

Muchos juegos de mesa clásicos usan dos dados de seis caras. Estas son las reglas de dados de los más conocidos, que es lo que hace falta saber para usar esta página en lugar de los dados físicos.

Backgammon

En cada turno se tiran dos dados y se mueven las fichas según los dos números, con una ficha o con dos distintas. Si sale doble, ese número se juega cuatro veces en lugar de dos: con 5-5 se hacen cuatro movimientos de cinco puntos. Si solo se puede jugar uno de los dos números, hay que jugar el mayor. Para empezar la partida, cada jugador tira un solo dado; quien saca más alto sale primero y mueve con los dos números que acaban de salir. Si empatan, se vuelve a tirar. El cubo de doblaje que acompaña al tablero no es un dado: lleva 2, 4, 8, 16, 32 y 64, no se lanza y solo sirve para marcar cuánto vale la partida.

Monopoly

Se avanza tantas casillas como sume la tirada. Quien saca doble mueve y vuelve a tirar. Si saca tres dobles seguidos en el mismo turno, va directamente a la cárcel sin hacer el tercer movimiento. La probabilidad de tres dobles seguidos es de 1 entre 216, un 0,46 %.

Catan

Al empezar cada turno se tiran dos dados y se suman. Producen materias primas los terrenos marcados con ese número, para los poblados y ciudades que tienen al lado (una carta por poblado y dos por ciudad). Con un 7 no produce nadie: quien tenga más de 7 cartas en la mano descarta la mitad, redondeando hacia abajo, y el jugador que ha tirado mueve al ladrón. Por eso los terrenos con 6 y con 8 son los más productivos: juntos salen en 10 de cada 36 tiradas, casi un 28 %, mientras que el 2 y el 12 juntos solo salen en 2 de cada 36.

Craps

Es el juego de dados de los casinos estadounidenses. En la primera tirada de una ronda (la de salida), un 7 o un 11 hace ganar a quien apuesta a la línea de pase, con una probabilidad de 8/36 (22,22 %). Un 2, un 3 o un 12 le hace perder (4/36, 11,11 %). Cualquier otra suma, 4, 5, 6, 8, 9 o 10, se convierte en el punto, y para ganar hay que repetirla antes de que salga un 7. Eso pasa en dos de cada tres tiradas de salida.

Juego de la oca

En Italia, el gioco dell'oca se juega con dos dados. En España la regla general es un solo dado, aunque hay versiones con dos. Donde se juega con dos dados hay una regla conocida para la primera tirada: con un 6 y un 3 se va directamente a la casilla 26, y con un 5 y un 4, a la 53. En la versión española con dos dados, a partir de la casilla 60 se tira con uno solo, porque a la 63 hay que llegar con el número exacto y, si sobran puntos, se retrocede. Las reglas cambian bastante de un país a otro y de una edición a otra, así que conviene mirar las del tablero que se tenga.

Parchís

El parchís clásico se juega con un dado. Existe una versión con dos dados, muy extendida en partidas por internet, en la que los dobles hacen el papel del 6 (repetir tirada) y para sacar ficha de casa vale un 5 en uno de los dados o que los dos sumen 5. Lo que pasa con tres dobles seguidos no es igual en todas las mesas, así que conviene acordarlo antes de empezar.

Galileo, el caballero de Méré y el origen del cálculo de probabilidades

Dos de los problemas más citados en la historia de la probabilidad salieron de partidas de dados, y los dos se explican con el mismo tipo de recuento que la tabla de arriba.

Galileo y los tres dados

A principios del siglo XVII, Galileo Galilei escribió un texto breve, conocido como Sopra le scoperte dei dadi, para aclarar una duda de jugadores. Con tres dados, el 9 y el 10 se pueden formar con seis combinaciones cada uno (para el 9: 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4 y 3-3-3), y aun así la experiencia indicaba que el 10 salía algo más. Galileo lo resolvió contando las tiradas teniendo en cuenta el orden: de los 216 resultados posibles con tres dados, 27 suman 10 y solo 25 suman 9. Las combinaciones sin orden no pesan lo mismo: 3-3-3 solo sale de una manera, mientras que 1-2-6 sale de seis. Se suele contar que la pregunta venía de la corte del gran duque de Toscana, para quien trabajaba Galileo, aunque el propio texto no dice quién se la encargó.

Es la misma razón por la que, con dos dados, un 1 y un 2 es el doble de probable que un doble 1.

El caballero de Méré, Pascal y Fermat (1654)

Antoine Gombaud, conocido como caballero de Méré, se planteó dos apuestas. La primera, sacar al menos un 6 en cuatro tiradas de un dado, es favorable: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77 %. Con la regla de proporción que usaban los jugadores de la época, la segunda debía serlo también: el doble 6 es seis veces menos probable que un 6, así que bastarían seis veces más tiradas, 24. El cálculo correcto dice otra cosa: la probabilidad de al menos un doble 6 en 24 tiradas de dos dados es 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14 %, por debajo de la mitad. Hacen falta 25 tiradas para pasar del 50 % (50,55 %).

Blaise Pascal recoge la queja de Méré en una carta a Pierre de Fermat del 29 de julio de 1654. La correspondencia de ese año entre los dos, dedicada también al llamado problema de los puntos (cómo repartir lo apostado si una partida se interrumpe), se considera el punto de partida de la teoría de la probabilidad moderna.

La ley de los grandes números: por qué tu gráfico no se parece al teórico

Las probabilidades de la tabla describen lo que pasa a la larga, no en una sesión corta. En 36 tiradas lo esperado serían 6 sietes, un 2 y un 12, pero es muy normal sacar 3 sietes, o 10, y no ver ningún 12. La ley de los grandes números dice que la frecuencia de cada suma se acerca a su probabilidad a medida que aumenta el número de tiradas. No dice nada sobre la tirada siguiente.

Esta tabla muestra, para el 7, entre qué valores cae el recuento en 95 de cada 100 sesiones (cálculo con la distribución binomial):

Con 36 tiradas, cualquier número de sietes entre 2 y 11 es normal. Con 1000, el porcentaje ya queda entre el 14,4 % y el 19 %, cerca del 16,67 % teórico. Hay dos ideas que ayudan a leer el gráfico:

• El margen se estrecha despacio. Para reducirlo a la mitad hay que tirar cuatro veces más. Por eso con unas decenas de tiradas el gráfico parece casi aleatorio, con un par de cientos el triángulo ya se reconoce y con varios miles las barras quedan muy cerca de la referencia.
• Los dados no tienen memoria. Si el 7 lleva un rato sin salir, en la siguiente tirada tiene la misma probabilidad de siempre, 1/6. El gráfico se acerca al teórico porque las rachas del principio pesan cada vez menos entre muchas tiradas. Los dados no compensan lo que ha pasado antes, y creer que sí se llama falacia del jugador.

Consejos prácticos

• Si faltan los dados de un juego de mesa, esta página los sustituye: la suma y el aviso de doble cubren el Monopoly, el Catan, el backgammon o el craps casero.
• En backgammon y en el parchís de dos dados importan los dos números por separado, no solo la suma. Fíjate en los dos valores antes de mover.
• En Catan conviene repartir los poblados entre números distintos. El 6 y el 8 juntos (10 casos de 36) dan más que el 2, el 3, el 11 y el 12 juntos (6 casos), y un 7 deja a todos sin producir, así que acumular muchas cartas tiene riesgo.
• Para clase de matemáticas, pide a cada alumno 36 tiradas y apunta su recuento; luego juntad los de todo el grupo. Los resultados individuales serán muy distintos entre sí y el total se parecerá mucho más al triángulo: es la ley de los grandes números vista en el aula.
• Para comprobar si unos dados físicos están cargados hacen falta cientos de tiradas. Con unas decenas no se puede concluir nada, como muestra la tabla anterior.
• Para sortear algo entre varias personas, ojo con las sumas: no todas valen lo mismo. Si cada persona elige un número de un solo dado, todas tienen la misma probabilidad; si eligen sumas de dos dados, quien escoge el 7 tiene ventaja.