2 dados online: lança dois dados de 6 faces

Como usar os dois dados desta página

Lá em cima tens dois dados normais de seis faces, aquilo a que nos jogos de RPG se chama 2d6. Há duas maneiras de os lançar (ou rolar, como se diz no Brasil):

• Com o botão Lançar: os dois dados saem com um impulso aleatório, rolam pelo tabuleiro e param sozinhos.
• Arrastar e largar: pega nos dados com o rato ou com o dedo, mexe-os e larga-os. A velocidade com que os largas transforma-se na força do lançamento, como quando se atiram com a mão.

Quando os dois dados param, a página lê a face de cima de cada um e mostra os dois números e a soma. Se os dois derem o mesmo número, aparece o aviso de duplo, que é o que conta em jogos como o gamão (backgammon) ou o Monopoly.

Por baixo vai-se formando a contagem da sessão: quantas vezes saiu cada soma de 2 a 12, com uma barra por soma e a referência do que seria de esperar segundo a probabilidade. Assim vês, lançamento a lançamento, a distribuição a aproximar-se da teórica.

As 36 combinações de dois dados e a tabela de somas

Cada dado tem 6 faces, por isso dois dados dão 6 × 6 = 36 resultados possíveis. Para os contar bem é preciso distinguir um dado do outro, como se um fosse vermelho e o outro azul: um 1 no vermelho com um 2 no azul é um resultado diferente de um 2 no vermelho com um 1 no azul, embora a soma seja 3 nos dois casos. Com dados equilibrados, cada um destes 36 resultados tem a mesma probabilidade, 1/36.

As somas já não são igualmente prováveis, porque cada uma se forma com um número diferente de combinações. Esta é a tabela completa:

A última coluna indica de quantos em quantos lançamentos sai cada soma a longo prazo: o 7 uma vez em cada 6, o 2 e o 12 uma vez em cada 36. Há 11 somas possíveis, do 2 ao 12.

Sem contar com a ordem, há 21 pares diferentes: 6 duplos e 15 pares de números diferentes. Essa contagem diz que pares existem, mas não serve para calcular probabilidades, porque os pares não valem todos o mesmo. Cada duplo só sai de uma forma em 36, e cada par de números diferentes sai de duas. É por isso que um 1 e um 2 (por qualquer ordem) é duas vezes mais provável do que um duplo 1.

Porque é que o 7 é a soma mais provável

O 7 é a única soma que ainda se consegue fazer seja qual for o número do primeiro dado. Se o primeiro der 1, o segundo precisa de um 6; se der 2, de um 5; se der 3, de um 4, e assim até ao 6, que precisa de um 1. Há sempre exatamente uma face do segundo dado que dá 7, por isso a probabilidade é 6/36, ou seja, 1/6 (16,67 %).

Com as outras somas, o primeiro dado já elimina hipóteses. Para fazer 8, um 1 no primeiro dado não serve, porque o segundo teria de dar 7. Para o 12, só um 6 em cada dado. Quanto mais a soma se afasta do 7, mais valores do primeiro dado ficam de fora, e é por isso que a tabela desce de um em um para os extremos e desenha um triângulo simétrico: o 6 e o 8 têm a mesma probabilidade, tal como o 5 e o 9, o 4 e o 10, o 3 e o 11, o 2 e o 12.

O 7 é também a média da soma. Um dado dá em média 3,5, dois dados dão 7. O desvio padrão é de cerca de 2,42 pontos, e dois em cada três lançamentos ficam entre 5 e 9 (24 das 36 combinações, 66,67 %).

Ser a soma mais frequente não quer dizer que o 7 saia quase sempre: em cinco de cada seis lançamentos sai outra coisa. Sai apenas mais vezes do que qualquer outra soma isolada.

Probabilidade de duplos, de tirar um 6 e outras jogadas

Qualquer cálculo com dois dados resume-se a contar quantos dos 36 resultados correspondem ao que procuras. As dúvidas mais comuns:

Ao longo de vários lançamentos, a probabilidade de ver uma coisa pelo menos uma vez sobe mais devagar do que parece. Calcula-se como 1 menos a probabilidade de nunca a ver: para os duplos, 1 − (5/6) elevado ao número de lançamentos; para o 12, 1 − (35/36) elevado ao número de lançamentos.

Nem 36 lançamentos garantem um 12: fica uma probabilidade de 36 % de não o ver. E para ver sair todas as somas do 2 ao 12 pelo menos uma vez são precisos, em média, cerca de 61 lançamentos, quase sempre por causa do 2 e do 12.

Jogos que se jogam com dois dados

Muitos jogos de tabuleiro clássicos usam dois dados de seis faces. Estas são as regras de dados dos mais conhecidos, que é o que precisas de saber para usar esta página em vez de dados físicos.

Gamão (backgammon)

Em cada jogada lançam-se dois dados e movem-se as peças segundo os dois números, com uma peça ou com duas. Um duplo joga-se quatro vezes em vez de duas: com 5-5 fazem-se quatro movimentos de cinco casas. Se só for possível jogar um dos números, tem de se jogar o maior. Para começar a partida, cada jogador lança um só dado; quem tirar mais começa e joga com os dois números que acabaram de sair. Em caso de empate, volta-se a lançar. O cubo de dobrar que acompanha o tabuleiro não é um dado: tem 2, 4, 8, 16, 32 e 64, nunca se lança e serve apenas para marcar o valor da partida.

Monopoly

Avança-se tantas casas quantas a soma dos dois dados. Quem tira um duplo joga e volta a lançar. Quem tirar três duplos seguidos na mesma vez vai diretamente para a prisão (a cadeia, no Brasil) sem fazer o terceiro movimento. A probabilidade de três duplos seguidos é de 1 em 216, ou 0,46 %.

Catan

No início de cada jogada lançam-se dois dados e soma-se o resultado. Produzem recursos os terrenos com esse número, para as aldeias e cidades que lhes tocam (uma carta por aldeia, duas por cidade). Com um 7 ninguém produz: quem tiver mais de 7 cartas na mão descarta metade, arredondando para baixo, e o jogador que lançou move o ladrão. Por isso os terrenos com 6 e com 8 são os mais produtivos: juntos saem 10 vezes em 36, quase 28 %, enquanto o 2 e o 12 juntos só saem 2 vezes em 36.

Craps

É o jogo de dados clássico dos casinos norte-americanos. No primeiro lançamento de uma ronda, o come-out, um 7 ou um 11 faz ganhar quem apostou na pass line, com uma probabilidade de 8/36 (22,22 %). Um 2, um 3 ou um 12 faz perder (4/36, 11,11 %). Qualquer outra soma, 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, passa a ser o ponto, e quem lança tem de a repetir antes de sair um 7. Isso acontece em dois de cada três lançamentos de saída.

Jogo do ganso

Em Itália, o gioco dell'oca joga-se com dois dados, e muitas versões noutros países também, embora algumas usem só um. Onde se joga com dois dados há uma regra conhecida para o primeiro lançamento: com 6 e 3 vai-se diretamente para a casa 26, e com 5 e 4 para a casa 53. As regras mudam bastante de país para país e de edição para edição, por isso convém seguir as que vêm com o tabuleiro.

Ludo e jogos de percurso

O Ludo e a maioria dos jogos de percurso para crianças jogam-se com um só dado, por isso para esses basta um dado online simples. O parchís espanhol, parente do Ludo, também usa um dado na forma clássica, mas tem uma variante com dois dados muito jogada online.

Galileu, o cavaleiro de Méré e o nascimento das probabilidades

Dois dos problemas mais citados na história das probabilidades nasceram à mesa de jogo, e ambos se resolvem com o mesmo tipo de contagem da tabela acima.

Galileu e os três dados

No início do século XVII, Galileu Galilei escreveu um texto curto, conhecido como Sopra le scoperte dei dadi, para responder a uma dúvida de jogadores. Com três dados, o 9 e o 10 formam-se com seis combinações cada um (para o 9: 1-2-6, 1-3-5, 1-4-4, 2-2-5, 2-3-4 e 3-3-3), e no entanto a experiência mostrava que o 10 saía um pouco mais. Galileu resolveu a questão contando os lançamentos com ordem: dos 216 resultados possíveis com três dados, 27 dão 10 e só 25 dão 9. As combinações sem ordem não têm o mesmo peso: 3-3-3 só sai de uma maneira, enquanto 1-2-6 sai de seis. Costuma contar-se que a pergunta vinha da corte do grão-duque da Toscana, para quem Galileu trabalhava, embora o próprio texto não diga quem a fez.

É exatamente a mesma razão pela qual, com dois dados, um 1 e um 2 é duas vezes mais provável do que um duplo 1.

O cavaleiro de Méré, Pascal e Fermat (1654)

Antoine Gombaud, conhecido como cavaleiro de Méré, comparava duas apostas. A primeira, tirar pelo menos um 6 em quatro lançamentos de um dado, é favorável: 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,77 %. Pela regra de proporção que os jogadores usavam na época, a segunda também devia ser: o duplo 6 é seis vezes menos provável do que um 6, logo bastariam seis vezes mais lançamentos, ou seja, 24. O cálculo correto diz outra coisa: a probabilidade de pelo menos um duplo 6 em 24 lançamentos de dois dados é 1 − (35/36)²⁴ ≈ 49,14 %, um pouco abaixo de metade. São precisos 25 lançamentos para passar dos 50 % (50,55 %).

Blaise Pascal relata a queixa de Méré numa carta a Pierre de Fermat de 29 de julho de 1654. A correspondência entre os dois nesse ano, que tratou também do chamado problema dos pontos (como dividir as apostas quando uma partida é interrompida), é considerada o ponto de partida da teoria moderna das probabilidades.

A lei dos grandes números: porque é que o teu gráfico não se parece com o teórico

As probabilidades da tabela descrevem o que acontece a longo prazo, não numa sessão curta. Em 36 lançamentos seria de esperar seis setes, um 2 e um 12, mas é perfeitamente normal sair três setes, ou dez, e nenhum 12. A lei dos grandes números diz que a frequência de cada soma se aproxima da sua probabilidade à medida que aumenta o número de lançamentos. Não diz nada sobre o lançamento seguinte.

Esta tabela mostra, para a soma 7, entre que valores fica a contagem em 95 de cada 100 sessões (cálculo com a distribuição binomial):

Ao fim de 36 lançamentos, qualquer número de setes entre 2 e 11 é normal. Ao fim de 1000, a percentagem já fica entre 14,4 % e 19 %, perto dos 16,67 % teóricos. Há duas ideias que ajudam a ler o gráfico:

• A margem estreita devagar. Para a reduzir para metade é preciso lançar quatro vezes mais. Por isso umas dezenas de lançamentos parecem quase aleatórias, umas centenas já deixam ver o triângulo e vários milhares põem as barras muito perto da referência.
• Os dados não têm memória. Se o 7 não sai há algum tempo, no lançamento seguinte tem a mesma probabilidade de sempre, 1/6. O gráfico aproxima-se do teórico porque as sequências do início pesam cada vez menos no meio de muitos lançamentos. Os dados não compensam nada, e acreditar no contrário chama-se falácia do jogador.

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