Calculadora de probabilidade de dados

Como usar a calculadora

Em cima escolhes três coisas: quantos dados, de que tipo (d4, d6, d8, d10, d12 ou d20) e o que queres calcular. A notação NdX quer dizer N dados de X faces: 2d6 são dois dados normais de seis faces e 1d20 é um dado de vinte faces. Há quatro objetivos possíveis:

O resultado é a probabilidade exata, calculada com todas as combinações possíveis, e um gráfico com a distribuição completa da soma, para veres logo que valores são frequentes e quais são raros. Se quiseres confirmar com lançamentos, carrega em Lançar ou arrasta os dados e larga-os na bandeja: os dados 3D usam física real, por isso cada lançamento é independente do anterior. Com dez ou vinte lançamentos os resultados podem afastar-se bastante da percentagem teórica; só com centenas de lançamentos a frequência observada se aproxima da probabilidade.

Conceitos básicos: espaço amostral, acontecimentos e regra de Laplace

Lançar (ou rolar) um dado é uma experiência aleatória: sabes o que pode sair, mas não o que vai sair. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral (também chamado espaço de resultados), Ω. Com um dado de seis faces é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Com dois dados convém distingui-los (imagina um vermelho e um azul) e o espaço amostral tem 6 × 6 = 36 pares ordenados, de (1,1) a (6,6), que nas aulas se costumam organizar numa tabela de dupla entrada. Com três dados são 6³ = 216 resultados e, em geral, NdX tem Xᴺ.

Um acontecimento (no Brasil, evento) é qualquer conjunto de resultados que te interesse: «sair número par» é {2, 4, 6}; «a soma de dois dados ser 4» é {(1,3), (2,2), (3,1)}. Se todos os resultados forem igualmente prováveis, como num dado equilibrado, aplica-se a regra de Laplace:

P(A) = número de casos favoráveis / número de casos possíveis

Assim, a probabilidade de sair par com um dado é 3/6 = 1/2, e a de dois dados somarem 4 é 3/36 = 1/12. Com mais duas ideias resolvem-se quase todos os problemas de dados:

• Acontecimento contrário: P(não A) = 1 − P(A). É o atalho para qualquer pergunta do tipo «pelo menos um».
• Acontecimentos independentes: o que sai num dado não influencia outro dado nem o lançamento seguinte, por isso as probabilidades multiplicam-se. Dois seis seguidos: 1/6 × 1/6 = 1/36.

O erro mais comum no início é contar combinações sem ter em conta a ordem. A soma 4 com dois dados pode sair como 1+3 ou como 2+2, mas os dois casos não são igualmente prováveis: 1+3 aparece de duas formas (1 no vermelho e 3 no azul, ou ao contrário) e 2+2 de uma só. Por isso a probabilidade é 3/36 e não 2/21.

Probabilidade de tirar pelo menos um 6 em n lançamentos

Calcular diretamente «pelo menos um 6» obrigaria a somar os casos de um 6, dois 6, três 6, e assim por diante. É muito mais rápido passar pelo contrário. A probabilidade de não sair 6 num lançamento é 5/6 e, em n lançamentos independentes, (5/6)ⁿ. Portanto:

P(pelo menos um 6 em n lançamentos) = 1 − (5/6)ⁿ

Tanto faz lançar um dado n vezes ou n dados de uma vez: a probabilidade é a mesma.

A tabela mostra três coisas. Com 4 lançamentos passa-se dos 50 % pela primeira vez. Seis lançamentos não garantem um 6, embora «um em seis» o pareça sugerir: a probabilidade é de 66,51 %. E nunca se chega aos 100 %: para passar dos 90 % são precisos 13 lançamentos e, para os 99 %, 26.

A fórmula serve para qualquer valor e qualquer dado: com um d20, a probabilidade de pelo menos um 20 em n lançamentos é 1 − (19/20)ⁿ, e com um d4 a de pelo menos um 4 é 1 − (3/4)ⁿ. Na calculadora corresponde ao objetivo «tirar pelo menos um V».

Probabilidade com dois dados: tabela das somas

Com dois dados de seis faces há 36 resultados igualmente prováveis e a soma vai de 2 a 12. Cada soma tem um número diferente de combinações: o 7 sai de seis formas (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1), enquanto o 2 e o 12 saem de uma só. A fórmula é P(S) = (6 − |S − 7|) / 36.

Nos jogos usam-se sobretudo as colunas acumuladas. Somar 8 ou mais tem probabilidade 15/36 = 41,67 %; 10 ou mais, 6/36 = 16,67 %. Outros valores úteis com dois dados: sair um duplo (os dois iguais) é 6/36 = 1/6; pelo menos um 6 é 11/36 = 30,56 %; duplo 6 é 1/36 = 2,78 %.

Por causa desta forma em triângulo, os jogos que distribuem recursos segundo a soma de dois dados giram à volta do 7. No Catan, por exemplo, os hexágonos com 6 e 8 produzem mais vezes do que os com 2 ou 12, e quando sai 7 ninguém recebe recursos e move-se o ladrão.

Soma de três dados e a pergunta feita a Galileu

Com três dados o espaço amostral tem 216 resultados e as somas vão de 3 a 18. A forma deixa de ser um triângulo e passa a ser um sino: os valores centrais, 10 e 11, são os mais prováveis, com 27 combinações cada um (12,5 %), e o 3 e o 18 só saem de uma maneira (0,46 %). A distribuição é simétrica em torno de 10,5, por isso somar 3 é tão provável como somar 18, 4 tanto como 17, e assim por diante.

Porque é que o 10 sai mais do que o 9

Os jogadores tinham reparado que, com três dados, o 10 saía um pouco mais do que o 9, embora os dois se possam formar com seis ternos diferentes: o 9 como 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 e 3+3+3, e o 10 como 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 e 3+3+4. Galileu Galilei explicou-o num pequeno texto conhecido como Sopra le scoperte dei dadi. Costuma contar-se que a pergunta veio da corte do grão-duque da Toscana, para quem Galileu trabalhava como matemático desde 1610; o texto só diz que escreve para satisfazer quem lho pediu.

A chave está na ordem. Um terno com três números diferentes, como 1+2+6, pode sair de 6 maneiras, conforme o dado que mostra cada número; um com dois iguais, como 1+4+4, de 3 maneiras; e um com os três iguais, como 3+3+3, de uma só. Somando: o 9 tem 6+6+3+3+6+1 = 25 resultados e o 10 tem 6+6+3+6+3+3 = 27. A diferença é de 2 casos em 216 (11,57 % contra 12,5 %), menos de um ponto percentual, e mesmo assim os jogadores tinham dado por ela à força de jogar.

O cavaleiro de Méré, Pascal e Fermat (1654)

Antoine Gombaud, conhecido como cavaleiro de Méré, era um escritor francês com gosto pelo jogo e pela matemática. Colocou duas questões a Blaise Pascal. A mais famosa é o problema dos pontos (ou da divisão das apostas): como repartir de forma justa o que foi apostado quando um jogo de várias rondas é interrompido antes do fim. Pascal discutiu-o por carta com Pierre de Fermat no verão de 1654, e essa correspondência é vista como o ponto de partida da teoria moderna das probabilidades.

A outra questão era sobre dados. Na carta a Fermat de 29 de julho de 1654, Pascal conta que Méré via uma contradição nos números:

• Apostar em pelo menos um 6 em 4 lançamentos de um dado é favorável, na proporção de 671 para 625.
• Apostar em pelo menos um duplo 6 em 24 lançamentos de dois dados é desfavorável.

Méré raciocinava com uma regra de três simples: um dado tem 6 faces e bastam 4 lançamentos; dois dados têm 36 combinações, logo 24 lançamentos deviam dar a mesma vantagem, porque 4 está para 6 como 24 está para 36. A proporção não funciona aqui, e o cálculo com o acontecimento contrário mostra porquê:

Os números da carta batem certo: dos 6⁴ = 1296 resultados de quatro lançamentos, 5⁴ = 625 não têm nenhum 6 e os restantes 671 têm pelo menos um. Para a aposta no duplo 6 passar dos 50 % são precisos 25 lançamentos. A diferença com 24 é pequena, menos de um ponto abaixo dos 50 %, mas chega para a aposta ser perdedora a longo prazo.

O primeiro estudo escrito sobre probabilidades com dados é ainda mais antigo: o Liber de ludo aleae de Gerolamo Cardano, terminado por volta de 1563 mas só publicado em 1663, quase um século depois.

Distribuição de NdX, média e variância

Para N dados de X faces, a probabilidade de cada soma obtém-se contando quantas das Xᴺ combinações dão essa soma. O método geral chama-se convolução: parte-se de um dado (cada face com probabilidade 1/X) e acrescentam-se dados um a um. A probabilidade de somar S com mais um dado é a média, para cada face c do dado novo, da probabilidade de ter somado S − c com os anteriores. É assim que se constroem as tabelas acima, e é por isso que a calculadora dá valores exatos e não estimativas por simulação. Também existe uma fórmula fechada com coeficientes binomiais, mas à mão é mais prático ir somando colunas.

Cada dado acrescentado suaviza a forma: um dado dá uma distribuição uniforme, dois um triângulo, três um sino de lados quase retos, e a partir de quatro ou cinco dados a curva parece-se muito com a curva de Gauss. É o que diz o teorema do limite central: a soma de muitas variáveis independentes com a mesma distribuição tende para uma distribuição normal, seja qual for a forma de cada uma. Com 4d6, por exemplo, a soma mais provável é 14 (146 de 1296 combinações, 11,27 %).

Média e variância de um dado

A média, ou valor esperado, de um dado de seis faces é (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Não é um valor que possa sair, mas a média para a qual tendem muitos lançamentos. A variância é a média dos quadrados menos o quadrado da média: 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92, e o desvio-padrão é √(35/12) ≈ 1,71. Para um dado de X faces numeradas de 1 a X, a média é (X+1)/2 e a variância (X² − 1)/12.

Com N dados, a média e a variância multiplicam-se por N (as variâncias somam-se porque os dados são independentes). Assim, 10d6 tem média 35 e desvio-padrão √(10 × 35/12) ≈ 5,40. A probabilidade exata de a soma ficar entre 30 e 40 é de 68,70 %, muito perto dos 68 % que a distribuição normal prevê para um desvio-padrão de cada lado da média.

Exercícios resolvidos de probabilidade com dados e erros comuns

São os tipos de exercício que mais aparecem nas aulas de Matemática do 3.º ciclo e do secundário. Os dados são sempre de seis faces e equilibrados.

1. Somar 7 com dois dados

Casos possíveis: 36. Favoráveis: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1), ou seja, 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 %.

2. Tirar pelo menos um 6 ao lançar dois dados

Contrário: nenhum 6, o que acontece em 5 × 5 = 25 casos. P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,56 %. O erro típico é somar 1/6 + 1/6 = 12/36, que conta duas vezes o (6,6).

3. Somar 10 ou mais com dois dados

Soma 10: 3 casos; soma 11: 2 casos; soma 12: 1 caso. Total: 6. P = 6/36 = 1/6.

4. O produto de dois dados ser par

O produto só é ímpar se os dois dados forem ímpares: 3 × 3 = 9 casos. P(par) = 1 − 9/36 = 3/4 = 75 %.

5. Sair número par ou maior do que 4 com um dado

Par: {2, 4, 6}. Maior do que 4: {5, 6}. A reunião é {2, 4, 5, 6}, com 4 casos. P = 4/6 = 2/3. Se somares 3/6 + 2/6 = 5/6, contas o 6 duas vezes; é preciso subtrair a interseção: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

6. Três dados com números todos diferentes

O primeiro dado pode mostrar qualquer número (6 hipóteses), o segundo um diferente (5) e o terceiro um diferente dos dois (4): 6 × 5 × 4 = 120 em 216. P = 5/9 ≈ 55,56 %. Os três iguais: 6/216 = 1/36.

7. Exatamente dois 6 com quatro dados

É uma distribuição binomial. Formas de escolher quais os dois dados que dão 6: ⁴C₂ = 6. Cada uma tem probabilidade (1/6)² × (5/6)² = 25/1296. P = 6 × 25/1296 = 25/216 ≈ 11,57 %.

8. Quantos lançamentos são precisos para ter pelo menos 90 % de hipóteses de tirar um 6?

Procura-se o menor n com 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9, ou seja, (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Com logaritmos: n ≥ log 0,1 / log (5/6) ≈ 12,63. Resposta: 13 lançamentos, com uma probabilidade de 90,65 %.

Erros comuns