Calculadora de probabilidad de dados

Cómo usar la calculadora

Arriba eliges tres cosas: cuántos dados, de qué tipo (d4, d6, d8, d10, d12 o d20) y qué quieres calcular. La notación NdX significa N dados de X caras: 2d6 son dos dados normales de seis caras y 1d20 es un dado de veinte caras. Hay cuatro objetivos posibles:

El resultado es la probabilidad exacta, calculada con todas las combinaciones posibles, y un gráfico con la distribución completa de la suma, para que veas qué valores son frecuentes y cuáles raros. Si quieres comprobarlo con tiradas, pulsa Lanzar o arrastra los dados y suéltalos en la bandeja: el dado 3D usa física real, así que cada tirada es independiente de la anterior. Ten en cuenta que con diez o veinte tiradas los resultados se alejan bastante del porcentaje teórico; solo con cientos de tiradas la frecuencia observada se acerca a la probabilidad.

Conceptos básicos: espacio muestral, sucesos y regla de Laplace

Lanzar un dado es un experimento aleatorio: sabes qué puede salir, pero no qué saldrá. El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral. Con un dado de seis caras es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Con dos dados conviene distinguir uno del otro (imagina uno rojo y otro azul), y el espacio muestral tiene 6 × 6 = 36 pares ordenados, de (1,1) a (6,6). Con tres dados son 6³ = 216 resultados, y en general NdX tiene Xᴺ.

Un suceso es cualquier conjunto de resultados que te interese: «sacar par» es {2, 4, 6}; «que dos dados sumen 4» es {(1,3), (2,2), (3,1)}. Si todos los resultados son igual de probables, como en un dado equilibrado, se aplica la regla de Laplace:

P(A) = casos favorables / casos posibles

Así, la probabilidad de sacar par con un dado es 3/6 = 1/2, y la de que dos dados sumen 4 es 3/36 = 1/12. Con dos ideas más se resuelven casi todos los problemas de dados:

• Suceso contrario: P(no A) = 1 − P(A). Es el camino corto para cualquier pregunta de «al menos uno».
• Sucesos independientes: lo que sale en un dado no influye en otro dado ni en la tirada siguiente, así que las probabilidades se multiplican. Dos seises seguidos: 1/6 × 1/6 = 1/36.

El fallo más habitual al empezar es contar combinaciones sin tener en cuenta el orden. Sumar 4 con dos dados puede salir como 1+3 o como 2+2, pero no son dos casos igual de probables: 1+3 aparece de dos formas (1 en el rojo y 3 en el azul, o al revés) y 2+2 de una sola. Por eso la probabilidad es 3/36 y no 2/21.

Probabilidad de sacar al menos un 6 en n tiradas

Calcular directamente «al menos un 6» obliga a sumar los casos de un 6, dos seises, tres seises, etc. Es mucho más rápido pasar por el contrario. La probabilidad de no sacar un 6 en una tirada es 5/6, y en n tiradas independientes es (5/6)ⁿ. Por tanto:

P(al menos un 6 en n tiradas) = 1 − (5/6)ⁿ

Da igual lanzar un dado n veces o n dados a la vez: la probabilidad es la misma.

En la tabla se ven tres cosas. Con 4 tiradas se pasa del 50 % por primera vez. Con 6 tiradas no está garantizado, aunque «uno de cada seis» lo sugiera: la probabilidad es del 66,51 %. Y nunca llega al 100 %: para superar el 90 % hacen falta 13 tiradas, y para el 99 %, 26.

La fórmula vale para cualquier valor y cualquier dado: con un d20, la probabilidad de sacar al menos un 20 en n tiradas es 1 − (19/20)ⁿ, y con un d4 la de sacar al menos un 4 es 1 − (3/4)ⁿ. En la calculadora corresponde al objetivo «sacar al menos un V».

Suma de dos dados: tabla de probabilidades

Con dos dados de seis caras hay 36 resultados igual de probables y la suma va de 2 a 12. Cada suma tiene un número distinto de combinaciones: el 7 sale de seis formas (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1), mientras que el 2 y el 12 salen de una sola. La fórmula es P(S) = (6 − |S − 7|) / 36.

Las columnas acumuladas son las que se usan al jugar. Sumar 8 o más tiene una probabilidad de 15/36 = 41,67 %; sumar 10 o más, de 6/36 = 16,67 %. Otros datos útiles con dos dados: sacar dobles (los dos iguales) es 6/36 = 1/6; sacar al menos un 6 es 11/36 = 30,56 %; sacar dos seises es 1/36 = 2,78 %.

Por esta forma de triángulo, los juegos que reparten recursos según la suma de dos dados giran alrededor del 7. En Catan, por ejemplo, las casillas con el 6 y el 8 producen más a menudo que las del 2 o el 12, y al sacar un 7 no se reparte nada y se mueve el ladrón.

Suma de tres dados y la pregunta a Galileo

Con tres dados el espacio muestral tiene 216 resultados y las sumas van de 3 a 18. La forma ya no es un triángulo sino una campana: los valores centrales, 10 y 11, son los más probables, con 27 combinaciones cada uno (12,5 %), y el 3 y el 18 solo salen de una manera (0,46 %). La distribución es simétrica alrededor de 10,5, así que sumar 3 tiene la misma probabilidad que sumar 18, 4 la misma que 17, y así sucesivamente.

Por qué el 10 sale más que el 9

Los jugadores de dados habían observado que con tres dados el 10 aparecía algo más que el 9, aunque los dos se pueden formar con seis repartos distintos de números: el 9 como 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 y 3+3+3, y el 10 como 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 y 3+3+4. Galileo Galilei lo explicó en un breve escrito conocido como Sopra le scoperte dei dadi. Suele contarse que la pregunta venía de la corte del Gran Duque de Toscana, para la que Galileo trabajaba como matemático desde 1610; el texto solo dice que lo escribe para complacer a quien se lo ha encargado.

La clave está en el orden. Un reparto con tres números distintos, como 1+2+6, puede salir de 6 maneras según qué dado muestre cada número; uno con dos iguales, como 1+4+4, de 3 maneras; y uno con los tres iguales, como 3+3+3, de una sola. Sumando: el 9 tiene 6+6+3+3+6+1 = 25 resultados y el 10 tiene 6+6+3+6+3+3 = 27. La diferencia es de 2 casos sobre 216 (11,57 % frente a 12,5 %), menos de un punto, y aun así los jugadores la habían notado a fuerza de jugar.

El caballero de Méré, Pascal y Fermat (1654)

Antoine Gombaud, conocido como el caballero de Méré, era un escritor francés aficionado al juego y a las matemáticas. Le planteó a Blaise Pascal dos cuestiones. La más famosa es el problema de los puntos (o del reparto de la apuesta): cómo dividir de forma justa lo apostado cuando una partida a varias rondas se interrumpe antes de terminar. Pascal lo discutió por carta con Pierre de Fermat durante el verano de 1654, y esa correspondencia se considera el punto de partida de la teoría de la probabilidad moderna.

La otra cuestión era de dados. En la carta a Fermat del 29 de julio de 1654, Pascal cuenta que Méré veía una contradicción en los números:

• Apostar a sacar al menos un 6 en 4 tiradas de un dado es favorable, en proporción de 671 a 625.
• Apostar a sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas de dos dados es desfavorable.

Méré razonaba con una regla de tres: un dado tiene 6 caras y bastan 4 tiradas; dos dados tienen 36 combinaciones, así que 24 tiradas deberían dar la misma ventaja, porque 4 es a 6 como 24 es a 36. La proporción no funciona aquí, y el cálculo con el suceso contrario lo muestra:

Los números de la carta cuadran exactamente: de los 6⁴ = 1296 resultados de cuatro tiradas, 5⁴ = 625 no tienen ningún 6 y los 671 restantes tienen al menos uno. Para que la apuesta del doble 6 pase del 50 % hacen falta 25 tiradas. La diferencia con 24 es pequeña, menos de un punto por debajo del 50 %, pero basta para que la apuesta sea perdedora a la larga.

El primer estudio escrito sobre probabilidades con dados es anterior: el Liber de ludo aleae de Gerolamo Cardano, terminado hacia 1563 pero no publicado hasta 1663, casi un siglo después.

Distribución de NdX, media y varianza

Para N dados de X caras, la probabilidad de cada suma se obtiene contando cuántas de las Xᴺ combinaciones dan esa suma. El método general se llama convolución: se parte de un dado (cada cara con probabilidad 1/X) y se añaden dados de uno en uno. La probabilidad de sumar S con un dado más es la media, para cada cara c del dado nuevo, de la probabilidad de haber sumado S − c con los anteriores. Así se construyen las tablas de arriba, y así obtiene la calculadora valores exactos en lugar de aproximaciones. Existe también una fórmula cerrada con números combinatorios, pero a mano es más práctico ir sumando columnas.

Cada dado añadido suaviza la forma: un dado da una distribución plana, dos dan un triángulo, tres una campana con lados casi rectos, y a partir de cuatro o cinco la curva se parece mucho a la campana de Gauss. Es lo que dice el teorema central del límite: la suma de muchas variables independientes con la misma distribución tiende a una distribución normal, sea cual sea la forma de cada una. Con 4d6, por ejemplo, la suma más probable es 14 (146 de 1296 combinaciones, 11,27 %).

Media y varianza de un dado

La media o esperanza de un dado de seis caras es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. No es un valor que pueda salir, sino el promedio al que tienden muchas tiradas. La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media: 91/6 − 3,5² = 35/12 ≈ 2,92, y la desviación típica es √(35/12) ≈ 1,71. Para un dado de X caras numerado de 1 a X, la media es (X+1)/2 y la varianza (X² − 1)/12.

Con N dados, la media y la varianza se multiplican por N (las varianzas se suman porque los dados son independientes). Así, 10d6 tiene media 35 y desviación típica √(10 × 35/12) ≈ 5,40. La probabilidad exacta de que la suma quede entre 30 y 40 es del 68,70 %, muy cerca del 68 % que predice la normal para una desviación típica a cada lado de la media.

Ejercicios resueltos de probabilidad con dados y errores comunes

Estos son los tipos de problema que más se repiten en clase de matemáticas en ESO y Bachillerato. Los dados son siempre de seis caras y equilibrados.

1. Sumar 7 con dos dados

Casos posibles: 36. Favorables: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), es decir, 6. P = 6/36 = 1/6 ≈ 16,67 %.

2. Sacar al menos un 6 al lanzar dos dados

Contrario: ningún 6, que ocurre en 5 × 5 = 25 casos. P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,56 %. El error típico es sumar 1/6 + 1/6 = 12/36, que cuenta dos veces el (6,6).

3. Sumar 10 o más con dos dados

Suma 10: 3 casos; suma 11: 2 casos; suma 12: 1 caso. Total: 6. P = 6/36 = 1/6.

4. Que el producto de dos dados sea par

El producto solo es impar si los dos dados son impares: 3 × 3 = 9 casos. P(par) = 1 − 9/36 = 3/4 = 75 %.

5. Sacar par o un número mayor que 4 con un dado

Par: {2, 4, 6}. Mayor que 4: {5, 6}. La unión es {2, 4, 5, 6}, con 4 casos. P = 4/6 = 2/3. Si se suma 3/6 + 2/6 = 5/6, el 6 se cuenta dos veces; hay que restar la intersección: 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6.

6. Tres dados con números distintos

El primer dado puede mostrar cualquier número (6 opciones), el segundo uno distinto (5) y el tercero uno distinto de los dos (4): 6 × 5 × 4 = 120 de 216. P = 5/9 ≈ 55,56 %. Que los tres sean iguales: 6/216 = 1/36.

7. Exactamente dos seises con cuatro dados

Es una distribución binomial. Formas de elegir qué dos dados son seises: C(4,2) = 6. Cada una tiene probabilidad (1/6)² × (5/6)² = 25/1296. P = 6 × 25/1296 = 25/216 ≈ 11,57 %.

8. Cuántas tiradas hacen falta para tener al menos un 90 % de sacar un 6

Hay que encontrar el menor n con 1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9, es decir, (5/6)ⁿ ≤ 0,1. Con logaritmos: n ≥ log 0,1 / log (5/6) ≈ 12,63. Respuesta: 13 tiradas, con una probabilidad del 90,65 %.

Errores comunes