Dados para a escola online: somas, subtrações e tabuada

Q: Que dado escolho para treinar a tabuada?

O d10 cobre toda a tabuada do 1 ao 10. O d12 chega a 12 × 12, útil para rever no 4.º ano e no 2.º ciclo. O d6 serve para começar com a tabuada até ao 6.

Como usar os dados desta página

Em resumo

Que jogos com dados posso fazer no pré-escolar? Jogos com o dado de seis faces para reconhecer e comparar quantidades: dizer quantas pintas tem cada dado, ver qual tem mais ou bater tantas palmas quantas as pintas. O objetivo é passar da contagem pinta a pinta ao reconhecimento das faces de relance.

Lá em cima estão dois dados grandes, pensados para se lerem bem do fundo da sala quando a página é projetada no quadro interativo. Antes de lançar, acertas duas coisas:

A operação: adição, subtração ou multiplicação. A página pega nos dois números que saem e escreve a conta por baixo dos dados.
O tipo de dado: d6 (seis faces, com pintas), d10 (dez faces) ou d12 (doze faces). Mudar de dado é a forma de subir de nível sem mudar de atividade.

Para lançar, ou rolar os dados, como se diz no Brasil, carrega no botão Lançar ou agarra os dados com o rato ou com o dedo e larga-os com algum impulso sobre o tabuleiro. Quando param, aparece a conta com um ponto de interrogação em vez do resultado, por exemplo 4 × 6 = ?. Os alunos pensam, respondem em voz alta ou no quadro individual, e depois carrega-se em Ver a solução para confirmar.

Dois pormenores que convém saber:

Na subtração, o número maior fica sempre à frente. Se saírem um 2 e um 9, a página escreve 9 − 2 = ?, por isso nunca aparecem resultados negativos. Se os dois dados forem iguais, o resultado é 0.
No d10, a face do 0 vale 10. É a convenção habitual quando o dado de dez faces se usa sozinho, de modo que o d10 dá números de 1 a 10.

Porque é que os dados funcionam na sala de aula

Os dados fazem parte da matemática do 1.º ciclo em muitos países há décadas, e a didática da matemática explica bem porquê. Estes são os argumentos que se repetem nos materiais de formação de professores.

Reconhecer quantidades sem contar

As faces do dado de seis são disposições fixas de pintas. No jardim de infância, as crianças começam por contar pinta a pinta, mas com a prática reconhecem o cinco ou o seis de relance, pela forma. Esta passagem da contagem um a um para a perceção de estruturas é uma das bases do cálculo, e a didática alemã trabalha-a precisamente com as imagens do dado e do dominó. A perceção imediata de quantidades muito pequenas, até cerca de quatro, já existe antes da escola; reconhecer quantidades maiores organizadas em padrões aprende-se na sala de aula.

Cálculo mental com um motivo para calcular

Uma ficha com vinte contas e um lançamento de dados pedem o mesmo cálculo, mas o lançamento muda o ambiente. Não é o professor que escolhe os números, cada conta é diferente e há um pequeno momento de expectativa antes de cada lançamento. O projeto NRICH da Universidade de Cambridge sublinha que estes jogos juntam cálculo, estimativa e estratégia, e que o objetivo pode subir ou descer para se adaptar a cada turma.

Perceber o que cada aluno sabe

Enquanto jogam, os alunos explicam o que estão a fazer. O professor ouve quem conta pelos dedos, quem continua a contar a partir do número maior e quem já sabe o resultado de cor. É por isso que os jogos de dados também são recomendados como instrumento de avaliação diagnóstica no início do ano: vê-se o que cada criança domina sem que pareça um teste.

Vez, regras e conversa

Esperar pela vez, aceitar o resultado do dado e explicar uma jogada são aprendizagens por direito próprio. No trabalho a pares ou em pequenos grupos, o dado reparte a sorte de forma neutra, e ninguém se queixa de lhe ter calhado a conta difícil.

Uma ponte para a probabilidade

O dado é o exemplo clássico de experiência aleatória. Nas Aprendizagens Essenciais de Matemática, o tema Dados e Probabilidades leva no 3.º ciclo à probabilidade como frequência relativa e à regra de Laplace. Com um dado passa-se de «acho que sai mais o 7» a contar, registar e comparar.

Há também investigação com grupo de controlo. Nos estudos de Robert Siegler e Geetha Ramani (2008), crianças em idade pré-escolar de famílias com poucos recursos jogaram quatro vezes por semana, durante duas semanas, um jogo de tabuleiro linear numerado de 1 a 10, avançando com uma roleta de números. Depois, colocavam os números numa reta numérica com mais precisão do que as crianças que tinham jogado uma versão com cores. O tabuleiro em linha reta mostrou-se mais eficaz do que o circular.

Que dado escolher para cada nível

O tipo de dado define o tamanho dos números. Esta tabela, calculada percorrendo todas as combinações possíveis dos dois dados, mostra o intervalo de resultados de cada um:

Dado	Combinações	Somas	Diferenças	Produtos	Produtos diferentes	Diferença igual a 0
d6	36	2 a 12	0 a 5	1 a 36	18	1 em cada 6 lançamentos (16,7 %)
d10	100	2 a 20	0 a 9	1 a 100	42	1 em cada 10 (10 %)
d12	144	2 a 24	0 a 11	1 a 144	59	1 em cada 12 (8,3 %)

d6

Somas até 12, diferenças pequenas e tabuada do 1 ao 6. É o dado do pré-escolar e do 1.º ano. Com o d6, a subtração dá 1 em 10 das 36 combinações, por isso 1 é a diferença mais frequente.

d10

Somas com passagem da dezena (8 + 7, 9 + 6), diferenças até 9 e toda a tabuada do 1 ao 10. Encaixa no 2.º e no 3.º ano, quando se memoriza a tabuada.

d12

Somas até 24 e multiplicações até 12 × 12. Serve para rever no 4.º ano e como aquecimento de cálculo mental no 2.º ciclo.

Um dado útil para preparar a aula: com o d6 há apenas 18 produtos diferentes, porque vários se repetem (o 6 sai de 1 × 6 e de 2 × 3, o 12 de 2 × 6 e de 3 × 4). Com o d12 há 59.

Doze atividades com dados por idades e anos de escolaridade

Educação pré-escolar (3 a 5 anos)

Quantas pintas vês?

D6 e adição. Lança-se, deixa-se ver os dados dois ou três segundos e pergunta-se quantas pintas tem cada dado. Depois conta-se em conjunto e carrega-se em Ver a solução. No início as crianças contam pinta a pinta; aos poucos reconhecem as faces de relance.

Quem tem mais?

Duas equipas, um dado para cada uma. Ganha a ronda a equipa cujo dado mostra mais pintas. Trabalha-se a comparação (mais, menos, igual) antes de somar.

Tantos como o dado

Lança-se e as crianças batem palmas, saltam ou dão tantos passos quantas as pintas de um dos dados. A quantidade liga-se ao movimento e ao número dito em voz alta.

1.º e 2.º ano

Contar a partir do maior

Adição com o d6. Antes de ver a solução, os alunos dizem o número maior e continuam a contar a partir dele (para 2 + 5 pensam «5, 6, 7»). É a estratégia que substitui a contagem a partir do 1.

Baixar a temperatura

Cada aluno começa nos 20 graus. Lança-se em modo subtração e cada um tira o resultado à sua temperatura. Ganha quem chegar primeiro a 0. Com o d10 pode começar-se nos 50.

Dobros e quase dobros

Quando saem dois números iguais, a turma diz o dobro em coro. Quando saem dois números seguidos (4 e 5), calcula-se a partir do dobro: 4 + 4 + 1.

3.º e 4.º ano

Tabuada contra o relógio

Multiplicação com o d10. Cada aluno escreve o resultado no quadro individual antes de o professor contar até cinco. Registam-se no quadro as multiplicações que mais falham, para as rever no dia seguinte.

Bingo dos produtos

Cada aluno desenha uma grelha de 3 × 3 com nove números que ache que podem sair ao multiplicar dois d6. Lança-se dez ou quinze vezes e riscam-se os produtos que saem. No fim discute-se porque é que o 6 e o 12 saem mais vezes do que o 25 ou o 36: o 6 e o 12 vêm de quatro combinações cada um, o 25 e o 36 de uma só.

Corrida aos 100

A pares, adição com o d10. Cada um vai somando os seus lançamentos numa folha; ganha quem chegar primeiro a 100, ou quem ficar mais perto sem passar, conforme se combinar.

2.º ciclo (5.º e 6.º ano)

Cálculo em cadeia. Com o d12. Lança-se três vezes seguidas mudando a operação (adição, multiplicação, subtração) e a turma encadeia os resultados de cabeça. Cada um escreve o resultado final, que se confirma no fim.

3.º ciclo (7.º ao 9.º ano)

Probabilidade experimental com a soma de dois dados. Adição com o d6. Cada aluno lança um número fixo de vezes e regista as somas numa tabela de frequências. Juntam-se os dados da turma e comparam-se com a probabilidade calculada pela regra de Laplace (ver a secção seguinte).
Este jogo é justo? Em multiplicação com o d6, o jogador A ganha se o produto for par e o B se for ímpar. Antes de jogar, cada aluno diz se acha justo. Depois de alguns lançamentos, conta-se: o produto só é ímpar quando os dois dados são ímpares, 9 casos em 36, por isso A ganha 27 lançamentos em 36 (75 %).

Experiência de probabilidade: a soma de dois dados

É a atividade de probabilidade mais usada na sala de aula porque o resultado surpreende. Dois dados de seis faces dão 36 combinações igualmente prováveis, mas as somas não o são: o 7 sai de seis maneiras (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), o 2 e o 12 só de uma.

Como organizar

Pôr os dados em d6 e a operação em adição.
Antes de começar, cada aluno aposta na soma que vai sair mais vezes. Costuma haver votos no 12 e em números «da sorte».
Repartir os lançamentos: numa turma de 30 alunos, 12 lançamentos cada um dão 360 no total. Cada aluno regista as suas somas numa tabela do 2 ao 12.
Juntar os dados no quadro e calcular a frequência relativa de cada soma (número de vezes que saiu a dividir pelo total de lançamentos).
Comparar com a tabela de frequências esperadas.

Frequências esperadas

Soma	Combinações (em 36)	Probabilidade	Esperado em 36 lançamentos	Esperado em 100 lançamentos	Esperado em 360 lançamentos
2	1	2,78 %	1	2,8	10
3	2	5,56 %	2	5,6	20
4	3	8,33 %	3	8,3	30
5	4	11,11 %	4	11,1	40
6	5	13,89 %	5	13,9	50
7	6	16,67 %	6	16,7	60
8	5	13,89 %	5	13,9	50
9	4	11,11 %	4	11,1	40
10	3	8,33 %	3	8,3	30
11	2	5,56 %	2	5,6	20
12	1	2,78 %	1	2,8	10

O que esperar dos dados reais

Os dados da turma não vão coincidir exatamente com a tabela, e isso faz parte da aula. Em 36 lançamentos, a probabilidade de o 7 sair exatamente 6 vezes é de apenas 18 %, e há 36 % de probabilidade de o 2 não sair nem uma vez. Em 100 lançamentos, o número de setes fica entre 12 e 21 em 82 % dos casos; em 360, fica entre 50 e 70 em 86 %. Quanto mais lançamentos, mais as frequências relativas se aproximam das probabilidades: é a lei dos grandes números, e vê-se melhor comparando os dados de um só aluno com os da turma inteira.

Jogos clássicos com dados para a sala de aula

Muitos jogos tradicionais treinam o cálculo só com um ou dois dados e uma folha. Estes são os mais usados nas escolas:

Porco (Pig)

Cada jogador lança um dado as vezes que quiser e vai somando. Se sair um 1, perde o que somou nessa jogada e passa o dado. Se parar a tempo, guarda os pontos. Ganha quem chegar primeiro a 100. Foi descrito por escrito por John Scarne em 1945 e usa-se muito no 3.º ciclo para falar de risco e probabilidade. Há variantes com outro número «mau», por exemplo o 3.

Fecha a caixa (Shut the Box)

Escrevem-se os números de 1 a 9. Em cada lançamento de dois dados riscam-se números cuja soma seja igual ao total (com 8 pode riscar-se o 8, ou o 5 e o 3, ou o 6 e o 2). A jogada acaba quando não se pode riscar mais nada. Treina a decomposição de números de forma muito natural.

O escaravelho (Beetle)

Jogo britânico de desenho: cada lançamento permite desenhar uma parte de um escaravelho. Na versão mais comum, o 6 dá o corpo, o 5 a cabeça, o 4 uma asa, o 3 uma pata, o 2 uma antena e o 1 um olho; começa-se pelo corpo e a cabeça vem antes dos olhos e das antenas. Adequado ao pré-escolar e ao 1.º ano.

General

Joga-se com cinco dados e uma folha de pontuação que obriga a somar, multiplicar e decidir. É parecido com o Yahtzee; na aula pode simplificar-se ficando só com a parte de cima (somar os uns, os dois e assim por diante).

Batalha de dados

Cada jogador lança e o número maior ganha uma ficha. Com dois dados e adição ou multiplicação, compara-se o resultado da operação.

Corrida no quadro do 100

Numa grelha de 1 a 100 avança-se a soma dos dados; na versão da subtração começa-se no 100 e recua-se a diferença.

Curiosidades sobre dados para contar na aula

As faces opostas do dado de seis somam 7: o 1 em frente ao 6, o 2 em frente ao 5, o 3 em frente ao 4. Uma boa pergunta para os alunos: se o 2 está em cima, que número está a tocar na mesa?
O d12 é um poliedro regular (um dodecaedro de faces pentagonais, um dos cinco sólidos platónicos), tal como o dado de seis é um cubo. O d10 não é: é um trapezoedro pentagonal, com faces em forma de papagaio de papel.
Os dados com muitas faces passaram pela escola antes dos jogos de RPG. No início dos anos 70, um fornecedor norte-americano de material escolar já vendia conjuntos de sólidos platónicos para as aulas de matemática, antes de os jogos de RPG os tornarem populares.
Galileu e os três dados: no início do século XVII, Galileu explicou porque é que, com três dados, o 10 sai um pouco mais vezes do que o 9, embora ambos se escrevam de seis maneiras como soma de três números. Contando todas as combinações ordenadas, o 10 aparece em 27 de 216 e o 9 em 25.
O cálculo das probabilidades nasceu de uma pergunta sobre jogos de dados. Por volta de 1654, Blaise Pascal e Pierre de Fermat trocaram cartas para resolver problemas de apostas colocados pelo cavaleiro de Méré.

Conselhos práticos: quadro interativo e dinâmica da aula

Como projetar os dados no quadro interativo

Ecrã inteiro

No navegador do computador da sala, a tecla F11 (no Windows) esconde barras e separadores e deixa mais espaço para os dados.

Ajustar o tamanho

Se os dados parecerem pequenos ao fundo da sala, amplia a página com Ctrl e + (Cmd e + no Mac). Antes da aula, confirma que a conta e o botão da solução continuam visíveis.

Lançar a partir do quadro

Num quadro interativo ou num ecrã tátil, o aluno pode agarrar os dados com o dedo e lançá-los arrastando, como num tablet. Se o quadro não for tátil, basta o botão Lançar. No Brasil, o mesmo vale para a lousa digital.

Sem projetor

Num tablet ou num telemóvel a página funciona da mesma maneira e pode usar-se em pequeno grupo como se fosse um dado em cima da mesa.

Quem mostra a solução

Resulta bem ser o professor a controlar o botão Ver a solução e a carregar nele só quando todos tiverem respondido.

Um dado no ecrã tem vantagens práticas na sala de aula: não cai ao chão, não faz barulho e a turma toda vê o mesmo resultado ao mesmo tempo.

Como tirar partido dos dados na aula

Tempo de espera antes da solução

Deixar uns segundos para pensar antes de carregar em Ver a solução faz com que respondam mais alunos, não só os mais rápidos.

Todos respondem ao mesmo tempo

Os quadros individuais ou os dedos no ar mostram de relance quem já percebeu.

Pedir a estratégia, não só o número

Perguntar «como pensaste?» faz aparecer estratégias diferentes para a mesma conta (7 + 8 como 7 + 7 + 1 ou como 8 + 2 + 5).

Mudar de dado, manter o jogo

Quando a turma domina o d6, a mesma atividade com o d10 ou o d12 é um desafio novo sem regras novas para explicar.

Sessões curtas e frequentes

Cinco minutos no início da aula de matemática rendem mais do que uma sessão longa de vez em quando, sobretudo para memorizar a tabuada.

Guardar os registos

Na experiência de probabilidade, guardar a tabela de cada aluno permite depois comparar amostras pequenas com o total da turma.

Perguntas frequentes

Que jogos com dados posso fazer no pré-escolar?

Jogos com o dado de seis faces para reconhecer e comparar quantidades: dizer quantas pintas tem cada dado, ver qual tem mais ou bater tantas palmas quantas as pintas. O objetivo é passar da contagem pinta a pinta ao reconhecimento das faces de relance.

A subtração pode dar um número negativo?

Não. A página põe sempre o número maior à frente: com um 3 e um 8 aparece 8 − 3 = ?. Se os dois dados forem iguais, o resultado é 0.

Que dado escolho para treinar a tabuada?

O d10 cobre toda a tabuada do 1 ao 10. O d12 chega a 12 × 12, útil para rever no 4.º ano e no 2.º ciclo. O d6 serve para começar com a tabuada até ao 6.

Como se vê o resultado?

Quando os dados param, a página escreve a conta com um ponto de interrogação, por exemplo 6 + 4 = ?. O resultado aparece ao carregar em Ver a solução.

Porque é que o d10 mostra um 0?

Os dados de dez faces são numerados de 0 a 9. Quando se usam sozinhos, o 0 vale 10, e é assim que a página o conta: o d10 dá números de 1 a 10.

Qual é a soma de dois dados que sai mais vezes?

O 7, com 6 combinações em 36 (16,67 %). Seguem-se o 6 e o 8, com 5 em 36. O 2 e o 12 são as menos prováveis, com 1 em 36 cada uma.

Posso usar no quadro interativo?

Sim. Abre a página no navegador do computador da sala, põe em ecrã inteiro e, se o quadro for tátil, os alunos podem lançar os dados arrastando-os com o dedo.

Rolar dados online é tão aleatório como rolar dados a sério?

Para uso na aula, sim. A página simula o movimento com um motor de física e uma posição inicial ao acaso, por isso os resultados não seguem nenhum padrão fixo. Numa aula de probabilidade, vale a pena lembrar que os lançamentos são independentes: uma série de setes não torna o 7 menos provável no lançamento seguinte.

Quantos lançamentos são precisos para ver que o 7 é a soma mais frequente?

Com 36 lançamentos os dados ainda variam muito. A partir de uns 300, a distribuição costuma já parecer-se com a forma da tabela teórica. Por isso resulta bem juntar os lançamentos da turma toda: 30 alunos com 12 lançamentos cada um somam 360.